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2025-04-26-利用奇异值重构矩阵-美团

题目内容

在一家致力于图像处理的科技公司，你被分配到一个新项目，目标是开发一种图像压缩算法，以减少存储空间并加速传输。团队决定使用奇异值分解（$SVD$）对图像进行降维处理，以达到压缩的目的。

现在，你需要编写一个程序，对给定的灰度图像矩阵进行奇异值分解，并重构出近似的低秩矩阵。

请你帮助团队实现一个使用$NumPy$库的程序，对给定的矩阵进行奇异值分解，共利用前$(k)$个奇异值重构矩阵。具体要求如下：

1. 读取输入矩阵，为一个二维列表，表示灰度图像的像素值矩阵。
2. 读取整数$(k)$，表示使用前$(k)$个奇异值进行矩阵重构。
3. 对矩阵进行奇异值分解($SVD$)，获取左奇异矩阵$(U)$、奇异值对角矩阵$(\Sigma )$和右奇异矩阵$(V^T)$。
4. 利用前$(k)$个奇异值和对应的奇异向量重构矩阵。
5. 输出重构后的矩阵，每个元素保留两位小数（使用$round(x,2)$）。

输入描述

• 第一行包含两个整数$(m)$和$(n)$表示矩阵的行数和列数。
• 接下来的$(m)$行，每行包含$(n)$个整数，表示矩阵的元素，元素之间用空格分隔。
• 最后一行包含一个整数$(k)$，表示用前$(k)$个奇异值进行矩阵重构。

输出描述

输出$(m)$行，每行包含$(n)$个浮点数，表示重构后的矩阵元素，元素之间用空格分隔，结果均保留两位小数，使用$round(x,2)$。

补充说明

• 奇异值分解（$SVD$），对于一个矩阵 $(A)$ 其奇异值分解为：
  $$A=U\Sigma V^T$$
  其中：4 5

  • $(U)$ 是 $(m\times m)$ 的正交矩阵，其列为 $(A{A}^T)$ 的特征向量。
  • $(\Sigma )$ 是 $(m\times n)$ 的对角矩阵，对角线上为非负的奇异值，按降序排列。
  • $(V^T)$ 是 $(n\times n)$ 的正交矩阵的转置，其列为 $(A^{T}A)$ 的特征向量。

• 矩阵重构

  使用前 $(k)$ 个奇异值和对应的奇异向量，可以近似地重构原矩阵：
  $$A_k=U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$$
  其中：

  • $(U_k)$ 为 $(U)$ 的前 $(k)$ 列。
  • $({\Sigma }_k)$ 为 $(\Sigma )$ 中前 $(k)$ 个奇异值构成的对角矩阵。
  • $(V_k^T)$ 为 $(V^T)$ 的前 $(k)$ 行。

样例

输入:
4 5
52 55 61 66 70
63 59 55 90 109
85 104 117 123 119
105 122 145 160 159
2输出:
47.3 54.1 61.41 69.2 70.35
63,02 58.35 55.4 90.03 109.11
84.08 101.15 118.72 123.8 119.52
107.77 125.0 143.24 157.95 158.38

import numpy as np

n,m = map(int, input().split())
mat = []
for _ in range(n):mat.append(list(map(int, input().split())))
k = int(input())

A = np.array(mat)
A

array([[ 52,  55,  61,  66,  70],[ 63,  59,  55,  90, 109],[ 85, 104, 117, 123, 119],[105, 122, 145, 160, 159]])

eig_values, U = np.linalg.eig(A@(A.T))
U

array([[ 0.30050372, -0.02694092,  0.69020128,  0.6577187 ],[ 0.37778194,  0.90391529,  0.05467   , -0.19294855],[ 0.54241183, -0.38739585,  0.36703081, -0.64884685],[ 0.68758106, -0.17926459, -0.62122602,  0.33041599]])

eig_values = sorted(np.sqrt(eig_values),reverse=True)
eig_values 

[454.71798467974327, 34.01883573921087, 7.740636522193636, 3.369832336013565]

_, V_t = np.linalg.eig((A.T)@A)
V_t = V_t.T
V_t

array([[ 0.34686878,  0.39389812,  0.44482554,  0.50704668,  0.51919189],[-0.11153546,  0.30307318,  0.68334892, -0.09530755, -0.64780955],[-0.68515863, -0.46097385,  0.26174063,  0.48804619,  0.1065998 ],[ 0.41943452, -0.20543104, -0.25978011,  0.65168322, -0.53823419],[ 0.47103526, -0.70589809,  0.44628536, -0.26634569,  0.09860531]])

U_k = U[:, :k]
sigma = np.diag(eig_values[:k])
V_tk = V_t[:k, :]
A_k = np.round(U_k@sigma@V_tk, 2)
A_k

array([[ 47.5 ,  53.55,  60.16,  69.37,  71.54],[ 56.16,  76.99,  97.43,  84.17,  69.27],[ 87.02,  93.16, 100.71, 126.32, 136.59],[109.13, 121.31, 134.91, 159.11, 166.28]])

基础概念

求奇异值

奇异值可以通过以下步骤计算：

1. 计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$。
2. 计算 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$。
3. 求解 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ 的特征值。
4. 奇异值是 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ 的特征值的平方根。

numpy求矩阵特征值

import numpy as np# 定义一个矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])# 使用 numpy.linalg.eig 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)# 打印结果
print("矩阵A：")
print(A)
print("\n特征值：")
print(eigenvalues)
print("\n特征向量：")
print(eigenvectors)

矩阵A：
[[1 2][3 4]]特征值：
[-0.37228132  5.37228132]特征向量：
[[-0.82456484 -0.41597356][ 0.56576746 -0.90937671]]

eigenvalues = np.linalg.eigvals(A)
print("特征值：", eigenvalues)

特征值： [-0.37228132  5.37228132]

numpy求奇异值分解

直接用这个算出的答案不太一样

import numpy as np# 创建一个示例矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])# 进行奇异值分解
U, S, Vh = np.linalg.svd(A, full_matrices=True, compute_uv=True)print("U 矩阵 (左奇异向量):")
print(U)
print("\n奇异值 (S):")
print(S)
print("\nVh 矩阵 (右奇异向量的转置):")
print(Vh)

U 矩阵 (左奇异向量):
[[-0.2298477   0.88346102  0.40824829][-0.52474482  0.24078249 -0.81649658][-0.81964194 -0.40189603  0.40824829]]奇异值 (S):
[9.52551809 0.51430058]Vh 矩阵 (右奇异向量的转置):
[[-0.61962948 -0.78489445][-0.78489445  0.61962948]]