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NR-SLAM（Non-Rigid SLAM）是一种用于非刚性场景（如人体、软体物体）的SLAM方法，能够在动态形变环境下实现相机跟踪与三维重建。其核心挑战在于同时估计相机位姿和场景的非刚性形变，而传统SLAM（如ORB-SLAM）假设场景是静态或刚体运动的。以下是NR-SLAM的详细原理与推导，涵盖数学建模、优化方法及实现细节。

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1. NR-SLAM核心思想

NR-SLAM的目标是：

• 输入：单目/RGB-D视频序列。
• 输出：
  • 相机位姿 $({\mathbf{T}}_t\in SE(3))$（每帧）。
  • 场景的非刚性形变场 $({\varphi }_t:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3)$（描述3D点的运动）。
  • 动态场景的规范模型（canonical model） $(\mathcal{M})$（未形变的基准3D结构）。

关键创新：
将非刚性形变建模为时变形变场，并通过优化联合估计相机位姿与形变参数。

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2. 数学建模与推导

(1) 非刚性形变表示

NR-SLAM通常采用以下形变表示之一：

• 基于网格的形变（如Embedded Deformation Graph, ED-Graph）：

  • 定义稀疏控制点 ( { g i } ) ( \{\mathbf{g}_i\} ) ({gi​})，形变由控制点的变换 ( { T i ∈ S E ( 3 ) } ) ( \{\mathbf{T}_i \in SE(3)\} ) ({Ti​∈SE(3)}) 插值得到。
  • 任意点 $(\mathbf{p})$ 的形变后位置：
    $$[\varphi (\mathbf{p})=\sum _i{w}_i(\mathbf{p})\cdot {\mathbf{T}}_i\mathbf{p}]$$
    • $(w_i(\mathbf{p}))$ 是权重（如基于距离的高斯核）。

• 基于潜变量的形变（如PCA、神经网络）：

  • 形变场 $({\varphi }_t)$ 由低维潜变量 $({\mathbf{z}}_t)$ 参数化：
    $$[{\varphi }_t(\mathbf{p})=\mathbf{p}+f(\mathbf{p},{\mathbf{z}}_t)]$$
    • $(f)$ 可以是MLP（如NeRF类方法）或线性基（如PCA）。

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(2) 相机投影模型

对于形变场景，3D点 $({\mathbf{X}}_j)$ 在时刻 $(t)$ 的位置为 $({\varphi }_t({\mathbf{X}}_j))$，其投影到图像平面的2D坐标为：
$$[{\mathbf{x}}_{tj}=\pi ({\mathbf{T}}_t{\varphi }_t({\mathbf{X}}_j))]$$

• $(\pi (\cdot ))$：相机投影函数（透视或RGB-D模型）。
• $({\mathbf{T}}_t)$：相机到世界坐标系的变换。

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(3) 能量函数（优化目标）

NR-SLAM通过最小化以下能量函数联合优化相机位姿、形变场和3D结构：
$$[E=E_{\text{photo}}+{\lambda }_{\text{reg}}{E}_{\text{reg}}+{\lambda }_{\text{prior}}{E}_{\text{prior}}]$$

(a) 光度误差（Photometric Error）

基于RGB或深度一致性：
$$[E_{\text{photo}}=\sum _{t,j}\rho \left(\Vert I_t({\mathbf{x}}_{tj})-I_{t+1}({\mathbf{x}}_{(t+1)j}){\Vert }^2\right)]$$

• $(\rho (\cdot ))$ 是鲁棒核函数（如Huber）。
• 若使用深度数据，可替换为几何误差：
  $$[E_{\text{depth}}=\sum _{t,j}\Vert d_t({\mathbf{x}}_{tj})-\Vert {\varphi }_t({\mathbf{X}}_j)-{\mathbf{c}}_t\Vert {\Vert }^2]$$
  • $({\mathbf{c}}_t)$ 是相机中心。

(b) 形变正则化（Deformation Regularization）

防止形变场过度自由：
$$[E_{\text{reg}}=\sum _i\Vert {\mathbf{T}}_i-{\mathbf{T}}_{i,\text{prev}}{\Vert }_F^2+\sum _{\text{adjacent }i,k}\Vert {\mathbf{T}}_i-{\mathbf{T}}_k{\Vert }_F^2]$$

• 第一项：时序平滑性。
• 第二项：空间平滑性（控制点间的形变一致性）。

© 先验约束（Prior Term）

• 物理约束（如弹性形变能量）：
  $$[E_{\text{prior}}=\sum _{\text{edges }(i,j)}\Vert ({\mathbf{T}}_i-{\mathbf{T}}_j){\mathbf{g}}_i{\Vert }^2]$$
• 学习到的形变先验（如用VAE建模形变分布）。

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(4) 优化方法

NR-SLAM通常采用交替优化或联合优化：

1. 跟踪（Tracking）：

   • 固定形变场 $({\varphi }_t)$，优化相机位姿 $({\mathbf{T}}_t)$：
     $$[\underset{{\mathbf{T}}_t}{\min }{E}_{\text{photo}}({\mathbf{T}}_t,{\varphi }_t)]$$
     • 使用Gauss-Newton或Levenberg-Marquardt算法。

2. 形变估计（Deformation Estimation）：

   • 固定 $({\mathbf{T}}_t)$，优化形变参数 ( { T i } ) ( \{\mathbf{T}_i\} ) ({Ti​}) 或 $({\mathbf{z}}_t)$：
     $$[\underset{{\varphi }_t}{\min }\left(E_{\text{photo}}+{\lambda }_{\text{reg}}{E}_{\text{reg}}\right)]$$
     • 线性系统求解（如共轭梯度法）或深度学习推理。

3. 全局优化（Bundle Adjustment）：

   • 联合优化所有变量：
     [ min ⁡ { T t } , { ϕ t } , { X j } E ] [ \min_{\{\mathbf{T}_t\}, \{\phi_t\}, \{\mathbf{X}_j\}} E ] [{Tt​},{ϕt​},{Xj​}min​E]
     • 使用稀疏BA（如g2o、Ceres Solver）。

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3. 关键技术与实现细节

(1) 形变场的初始化

• 静态初始化：先运行传统SLAM获取初始3D点，再通过非刚性配准（如ICP）估计形变。
• 动态初始化：结合光流和语义分割（如人体姿态估计）提供形变先验。

(2) 鲁棒性处理

• 外点剔除：
  • 使用RANSAC剔除不符合形变模型的匹配点。
• 层次化优化：
  • 先优化低频形变（全局运动），再优化高频细节。

(3) 实时性优化

• 稀疏形变表示：ED-Graph比稠密形变场更高效。
• 关键帧策略：仅对关键帧优化形变场，非关键帧通过插值得到。

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4. 与刚性SLAM的对比

模块	刚性SLAM（如ORB-SLAM）	NR-SLAM
场景假设	静态或刚体运动	非刚性形变
形变建模	无	显式形变场（ED-Graph/PCA/MLP）
优化变量	相机位姿 + 静态地图点	相机位姿 + 形变参数 + 规范模型
计算复杂度	较低	高（需优化形变场）
应用场景	室内/室外静态环境	人体重建、医疗影像、软体机器人

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5. 相关论文与扩展

• 经典论文：
  • “DynamicFusion: Reconstruction and Tracking of Non-Rigid Scenes in Real-Time” (CVPR 2015)
    • 首个实时非刚性RGB-D SLAM，使用ED-Graph表示形变。
  • “NR-SLAM: Non-Rigid Monocular SLAM” (ECCV 2020)
    • 单目NR-SLAM，结合深度学习与几何优化。
• 前沿方向：
  • 神经形变场（如NeRF+SLAM）：用MLP隐式建模形变（如iMAP、D-NeRF）。
  • 物理约束：引入有限元分析（FEM）提升形变真实性。

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6. 总结

NR-SLAM通过显式建模非刚性形变场，解决了动态场景下的SLAM问题，其核心在于：

1. 形变参数化（ED-Graph/PCA/神经网络）。
2. 联合优化相机位姿、形变场与3D结构。
3. 正则化与先验保证形变的合理性与鲁棒性。

未来方向包括结合深度学习提升形变建模能力，以及轻量化实现实时应用。