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旋转不变子空间( ESPRIT) 算法

1.1 ESPRIT 算法模型

以均匀线阵为研究背景，假设有阵元数为，阵元间距为的平面等间距线性天线阵列。设窄带远场信号的 DOA 估计的数学模型为 (1)

式中，为阵列流型阵( 导向矢量阵) 。

1.2 ESPRIT 算法原理

ESPRIT 算法的概念是由Roy和Kailath提出的。将阵列分成两个相同的子阵列。由于两个子阵的结构完全相同，对于同一个信号而言，两个子阵的输出只有一个相位差。下面假设两个子阵的接收数据如下:

(2)

(3)

子阵1的阵列流型 ，子阵2的阵列流型。

从上面的数学模型可知，需要求解的是信号的方向，而信号的方向信息包含在和中，由于是一个对角阵，所以下面只考虑这个矩阵，即：

(4)

由上可知，只要得到两个子阵间的旋转不变关系，就可以方便得到关于信号到达角的信息。下面的任务就是从式(2)和(3)中得到两个子阵间的关系。先将两个子阵的模型进行合并，即，

(5)

在理想条件下，可得上式的协方差矩阵:

(6)

对上式进行特征分解，可得:

(7)

此时，存在一个惟一的非奇异矩阵，使得:

(8)

显然上述的结构对两个子阵都成立，所以有:

(9)

此时可知两个子阵的信号子空间的关系如下:

(10)

如果阵列流型是满秩矩阵，则由式( 10) 可以得到:

(11)

所以上式中的特征值组成的对角阵一定等于，而矩阵的各列就是矩阵的特征矢量。所以一旦得到上述的旋转不变关系矩阵，就可以直接利用式（4）得到信号的入射角度。这正是 ES-PRIT 研究中的核心关系。

1.3 ESPRIT****算法实现

1.3.1 LS－ESPRIT 算法

直接给出LS的旋转不变子空间算法的步骤:

① 两个子阵的接收数据，分别得到两个子阵的数据协方差矩阵。

② 将矩阵对进行特征分解，从而得到两个数据矩阵的信号子空间和。

③ 按照得到矩阵，然后对其进行特征值分解，得到个特征值就可以得到对应的个信号的波达方向。

1.3.2 TLS－ESPRIT 算法

TLS ESPRIT 求解 DOA 的算法步骤:

① 两个子阵的接收数据，得到数据协方差矩阵。

② 将矩阵对进行特征分解，从而得到两个数据矩阵的信号子空间 。

③ 由构造矩阵 ，并按照式 进行特征值分解得到矩阵，然后按照式将矩阵分为4个小的矩阵。

④ 按照式 得到矩阵，然后对其进行特征值分解，得到个特征值就可以得到对应的个信号的波达方向。

1.3.3 TAM 算法

Toeplitz 近似简称 TAM 算法，其求解的准则是利用了空间的旋转不变性，也可以看成为 ESPRIT算法中的一种。下面就介绍其基本实现步骤:

① 数据协方差矩阵得到信号子空间及其特征值。

② 按式构造矩阵，从而进一步得到的前行与后行构成的矩阵和。

③ 按照式 得到矩阵。其中 是的前行，是的后行。

④ 对矩阵进行特征分解，由特征值就可以得到对应的个信号的到达角。

总结上述所说，可以得到ESPRIT算法的流程图，如图所示。
ls_esprit算法和tls_esprit算法matlab仿真