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平衡二叉树

定义

平衡二叉树（AVL树） – 树上的任意一点的左子树和右子树的高度之差不超过1

节点的平衡因子 = 左子树高-右子树高

平衡二叉树的结点的平衡因子的值只可能是-1、0、1

//平衡二叉树结点
typedef struct AVLNode{int key;		//数据域int balance;	//平衡因子struct AVLNode *lchild,*rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

插入操作

在插入新结点后，如何保持平衡

从插入点往回找到第一个不平衡的结点，调整以该结点为根结点的子树

每次调整的对象都是“最小不平衡子树”

插入新结点后如何调整“不平衡”问题（重点 选择手算处理）

LL – 右单旋转（右旋）

RR – 左单旋转（左旋）

代码思路：

LR – 先左后右双旋转

RL – 先右后左双旋转

【思考】为什么只需要调整最小不平衡子树？

插入操作导致“最小不平衡子树”高度+1，经过调整之后高度恢复，从而其他祖先节点都会恢复平衡

查找效率分析

若树高为h，则最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比h次，即查找操作的时间复杂度不肯超过O(h)

平衡二叉树 – 树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1

假设以nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数

则有n0=0，n1=1，n2=2，并且有nh=n(h-1)+n(h-2)+1

hmax=O(log2n)

平衡二叉树的平均查找长度为O(log2n)

平衡二叉树的插入&删除

平衡二叉树的插入操作

​ 插入新结点后，要保持二叉排序树的特性不变

​ 若插入新结点导致不平衡，则需要调整平衡

平衡二叉树的删除操作

​ 删除新结点后，要保持二叉排序树的特性不变

​ 若删除结点导致不平衡，则需要调整平衡

具体步骤

①删除结点，方法同“二叉排序树”

②找最小不平衡子树（不存在则结束）

③在最小不平衡子树下，找到最高的儿子结点和孙子节点

④基于孙子结点的位置，调整平衡（LL/RR/LR/RL）

孙子 在LL：儿子右单旋转

孙子在RR：儿子左单旋转

孙子在LR：孙子先左旋后右旋

孙子在RL：孙子先右选后左旋

⑤如果不平衡向上传导，返回②

对最小不平衡子树的旋转可能导致树变矮从而导致上层祖先不平衡（不平衡只会向上传导）

平衡二叉树删除操作的时间复杂度=O(log2n)