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求解最长回文子串的传统方法如暴力枚举、动态规划虽然能解决问题，但在时间复杂度上存在一定局限。Manacher 算法以其巧妙的预处理方式和利用回文串对称性的优化策略，高效地解决了最长回文子串问题，将时间复杂度从传统方法的 $O(n^2)$ 或 $O(n^3)$ 降低到了 $O(n)$。本文我将详细介绍 Manacher 算法的原理、实现步骤、代码示例、复杂度分析以及实际应用场景，带你全面掌握这一算法。

一、最长回文子串问题概述

1.1 问题定义

回文串是指一个字符串从左往右读和从右往左读是一样的，例如 “aba”、“noon” 等。最长回文子串问题就是在给定的字符串中，找出长度最长的回文子串。如果存在多个长度相同的最长回文子串，返回其中任意一个即可。例如，对于字符串 “babad”，最长回文子串是 “bab” 或 “aba”；对于字符串 “cbbd”，最长回文子串是 “bb”。

1.2 传统解法及其局限性

• 暴力枚举法：通过两层循环枚举所有可能的子串，然后判断每个子串是否为回文串，时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是字符串的长度。这种方法虽然简单直观，但在处理长字符串时效率极低。

• 动态规划法：利用动态规划的思想，定义状态 $dp[i][j]$ 表示字符串中从索引 $i$ 到索引 $j$ 的子串是否为回文串，通过状态转移方程 $dp[i][j]=(s[i]==s[j])\wedge dp[i+1][j-1]$ 来计算，时间复杂度可以优化到 $O(n^2)$，空间复杂度也为 $O(n^2)$。虽然有所改进，但在效率上仍有提升空间。

二、Manacher 算法核心原理

2.1 算法设计思想

Manacher 算法的核心思想是通过对字符串进行预处理，将奇数长度和偶数长度的回文串统一处理，并利用已经计算出的回文子串信息，减少重复计算，从而将时间复杂度降低到 $O(n)$。

2.2 字符串预处理

为了将奇数长度和偶数长度的回文串统一处理，Manacher 算法对原始字符串进行预处理。具体做法是在每个字符的两边都插入一个特殊字符（通常用 ‘#’），并且在字符串的开头和结尾再分别插入一个不同的特殊字符（例如 ‘$’ 和 ‘@’），以确保边界情况的正确处理。例如，对于字符串 “aba”，预处理后变为 “$#a#b#a#@”；对于字符串"abba"，预处理后变为"$#a#b#b#a#@"。

经过预处理后，所有的回文子串长度都变为奇数，这样就可以用统一的方式来处理不同长度的回文串，简化了算法的实现。

2.3 辅助数组与回文半径

Manacher 算法引入一个辅助数组 $p[]$，其中 $p[i]$ 表示以字符 $s[i]$ 为中心的最长回文子串的半径（包括字符 $s[i]$ 本身）。例如，对于预处理后的字符串 "KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 1: #̲a#b#b#a#@"，p$数组的值可能为[1,2,1,2,5,2,1,2,1]，其中$p [4] = 5$ 表示以字符 ‘#’（位于原始字符串 “abba” 的中间位置）为中心的最长回文子串的半径为 5，对应的回文子串为 “#b#b#”，去除特殊字符后就是原始字符串中的 “bb”。

2.4 利用对称性优化计算

Manacher 算法的关键优化在于利用已经计算出的回文子串的对称性。假设在计算 $p[i]$ 时，已经计算出了 $p[0]$ 到 $p[i-1]$ 的值，并且已知在 $i$ 之前存在一个回文子串，其中心为 $id$，半径为 $mx$（即 $mx=id+p[id]$，表示该回文子串的右边界）。

• 情况一：：此时，$i$ 关于 $id$ 的对称点为 $j=2\ast id-i$。根据回文串的对称性，$p[i]$ 至少等于 $min(p[j],mx-i)$。这是因为如果 $p[j]$ 小于 $mx-i$，那么以 $i$ 为中心的回文子串完全包含在以 $id$ 为中心的回文子串内，所以 $p[i]$ 可以直接取 $p[j]$；如果 $p[j]$ 大于等于 $mx-i$，那么以 $i$ 为中心的回文子串最多只能扩展到 $mx$ 的位置，所以 $p[i]$ 取 $mx-i$。

• 情况二：：此时无法利用对称性，只能从 $i$ 为中心，向两边逐个字符进行比较，计算 $p[i]$ 的值。

三、Manacher 算法实现步骤

1. 字符串预处理：在原始字符串的每个字符两边插入特殊字符 ‘#’，并在开头和结尾插入其他特殊字符，得到预处理后的字符串 $s$。

2. 初始化辅助数组：创建一个与预处理后字符串长度相同的数组 $p$，并初始化为 0。

3. 初始化变量：设置变量 $id=0$ 表示当前已知的回文子串中心，$mx=0$ 表示当前已知的回文子串的右边界。

4. 遍历字符串计算 **** **** 数组：

• 对于每个字符 $s[i]$，如果 $i<mx$，根据对称性计算 $p[i]$ 的初始值；否则将 $p[i]$ 初始化为 1。

• 以 $s[i]$ 为中心，向两边扩展，比较字符是否相同，更新 $p[i]$ 的值。

• 如果以 $i$ 为中心的回文子串的右边界超过了当前的 $mx$，更新 $id=i$ 和 $mx=i+p[i]$。

5. 找出最长回文子串：遍历 $p$ 数组，找到最大的 $p[i]$ 值，其对应的回文子串就是原始字符串中的最长回文子串。根据 $p[i]$ 和 $i$ 的值，可以计算出原始字符串中最长回文子串的起始位置和长度。
   

四、Manacher 算法代码实现

4.1 Python 实现

def manacher(s):# 字符串预处理s = '$#' + '#'.join(s) + '#@'p = [0] * len(s)id, mx = 0, 0for i in range(1, len(s) - 1):if i < mx:p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i)else:p[i] = 1# 向两边扩展while s[i - p[i]] == s[i + p[i]]:p[i] += 1# 更新id和mxif i + p[i] > mx:id, mx = i, i + p[i]# 找出最长回文子串max_len, center_index = 0, 0for i in range(1, len(s) - 1):if p[i] - 1 > max_len:max_len = p[i] - 1center_index = istart = (center_index - max_len) // 2return s[start * 2 + 1: start * 2 + 1 + max_len]# 测试
s = "babad"
print(manacher(s))

4.2 Java 实现

public class ManacherAlgorithm {public static String manacher(String s) {// 字符串预处理StringBuilder sb = new StringBuilder();sb.append("$#");for (char c : s.toCharArray()) {sb.append(c).append("#");}sb.append("@");s = sb.toString();int[] p = new int[s.length()];int id = 0, mx = 0;for (int i = 1; i < s.length() - 1; i++) {if (i < mx) {p[i] = Math.min(p[2 * id - i], mx - i);} else {p[i] = 1;}// 向两边扩展while (s.charAt(i - p[i]) == s.charAt(i + p[i])) {p[i]++;}// 更新id和mxif (i + p[i] > mx) {id = i;mx = i + p[i];}}// 找出最长回文子串int maxLen = 0, centerIndex = 0;for (int i = 1; i < s.length() - 1; i++) {if (p[i] - 1 > maxLen) {maxLen = p[i] - 1;centerIndex = i;}}int start = (centerIndex - maxLen) / 2;return s.substring(start * 2 + 1, start * 2 + 1 + maxLen);}public static void main(String[] args) {String s = "babad";System.out.println(manacher(s));}
}

4.3 C++ 实现

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;string manacher(string s) {// 字符串预处理string t = "$#";for (char c : s) {t += c;t += '#';}t += '@';int n = t.size();int p[n];int id = 0, mx = 0;for (int i = 1; i < n - 1; i++) {if (i < mx) {p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);} else {p[i] = 1;}// 向两边扩展while (t[i - p[i]] == t[i + p[i]]) {p[i]++;}// 更新id和mxif (i + p[i] > mx) {id = i;mx = i + p[i];}}// 找出最长回文子串int maxLen = 0, centerIndex = 0;for (int i = 1; i < n - 1; i++) {if (p[i] - 1 > maxLen) {maxLen = p[i] - 1;centerIndex = i;}}int start = (centerIndex - maxLen) / 2;return s.substr(start, maxLen);
}int main() {string s = "babad";cout << manacher(s) << endl;return 0;
}

五、复杂度分析

5.1 时间复杂度

Manacher 算法通过一次遍历预处理后的字符串来计算辅助数组 $p$，在遍历过程中，对于每个字符，虽然存在扩展的操作，但由于每个字符最多被访问两次（一次是计算初始值，一次是扩展），所以整个算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是预处理后字符串的长度，由于预处理后的字符串长度与原始字符串长度是线性关系，所以对于原始字符串，时间复杂度同样为 $O(n)$。相较于暴力枚举法和动态规划法，Manacher 算法在时间效率上有了显著提升。

5.2 空间复杂度

算法主要使用了辅助数组 $p$ 和一些额外的变量，辅助数组的长度与预处理后字符串的长度相同，所以空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是预处理后字符串的长度。

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