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一、直线拟合

1. ‌最小二乘法直线拟合（cv::fitLine）‌

   • ‌原理‌：通过最小化点到直线的垂直距离平方和，计算最优直线参数‌。
   • ‌函数参数说明‌：

     void cv::fitLine(InputArray points,    // 输入点集（2D或3D）OutputArray line,    // 输出直线参数（2D为Vec4f，3D为Vec6f）int distType,        // 距离类型（如DIST_L2、DIST_L1）double param,        // 距离权重参数（通常设为0）double reps,         // 径向精度阈值（推荐0.01）double aeps          // 角度精度阈值（推荐0.01）
     );

     ‌distType‌：
     DIST_L2：对噪声敏感，适合无异常值数据‌。
     DIST_HUBER：鲁棒性较强，可抑制部分异常点‌。
     

   • ‌应用场景‌：适用于高精度直线参数提取（如工业检测中的边缘对齐）‌。

二、曲线拟合

1. ‌多项式曲线拟合‌

   • ‌原理‌：使用最小二乘法拟合多项式曲线（如二次、三次多项式），通过解线性方程组获取系数‌。
   • ‌实现步骤‌：
     • 调用cv::solve解线性方程组，生成多项式系数矩阵‌。
     • 根据系数生成连续曲线点集，用于绘制拟合曲线‌。
   • ‌参数限制‌：多项式阶数需满足阶数 ≤ 数据点数 - 1‌。

2. ‌基于Numpy的快速拟合（np.polyfit）‌

   • ‌优势‌：简化多项式拟合流程，直接生成多项式方程（需结合OpenCV绘图）‌。
   • ‌示例‌：

     coefficients = np.polyfit(x_points, y_points, degree) # 生成多项式系数

三、圆拟合

1. ‌二维圆拟合‌

   • ‌原理‌：通过最小二乘法或RANSAC算法，计算圆心坐标和半径‌。
   • ‌实现函数‌：OpenCV未提供直接接口，需自行实现或结合第三方库（如scikit-learn）‌。

2. ‌三维空间圆拟合‌

   • ‌挑战‌：需处理三维点云数据，通常通过投影到二维平面或使用迭代优化方法实现‌。

四、代码

1.‌最小二乘法直线拟合

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <vector>using namespace cv;
using namespace std;int main() {// 模拟输入点集（可替换为实际图像边缘点）vector<Point2f> points = {{50, 100}, {100, 150}, {150, 200}, {200, 250}};// 直线拟合Vec4f lineParams;fitLine(points, lineParams, DIST_L2, 0, 0.01, 0.01);// 解析直线参数：vx, vy 是方向向量，x0, y0 是直线上一点float vx = lineParams;float vy = lineParams;float x0 = lineParams;float y0 = lineParams;// 计算直线端点（延伸100像素）Point pt1(x0 - 100*vx, y0 - 100*vy);Point pt2(x0 + 100*vx, y0 + 100*vy);// 可视化Mat img = Mat::zeros(300, 300, CV_8UC3);for (const auto& p : points) {circle(img, p, 3, Scalar(0, 255, 0), FILLED); // 绘制输入点}line(img, pt1, pt2, Scalar(0, 0, 255), 2); // 绘制拟合直线imshow("Line Fitting", img);waitKey(0);return 0;
}

2. 曲线拟合

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <vector>
#include <cmath>using namespace cv;
using namespace std;int main() {// 输入点集（二次曲线y = ax^2 + bx + c 比如：y = 0.5x² + 3x + 10 的采样）vector<Point2f> points;for (int x = 0; x <= 20; x += 2) {float y = 0.5*pow(x,2) + 3*x + 10;points.emplace_back(x*10, y*10); // 放大坐标便于显示}// 构建矩阵方程 Ax = bMat A(points.size(), 3, CV_32F);Mat b(points.size(), 1, CV_32F);for (size_t i = 0; i < points.size(); i++) {float x = points[i].x;A.at<float>(i, 0) = x*x;A.at<float>(i, 1) = x;A.at<float>(i, 2) = 1;b.at<float>(i) = points[i].y;}// 解方程 (A^T * A) * coeff = A^T * bMat coeff;solve(A, b, coeff, DECOMP_NORMAL | DECOMP_SVD);// 生成拟合曲线点vector<Point> curvePoints;for (int x = 0; x <= 200; x += 2) {float y = coeff.at<float>(0)*x*x + coeff.at<float>(1)*x + coeff.at<float>(2);curvePoints.emplace_back(x, cvRound(y));}// 可视化Mat img = Mat::zeros(800, 800, CV_8UC3);for (const auto& p : points) {circle(img, p, 5, Scalar(0, 255, 0), FILLED);}polylines(img, curvePoints, false, Scalar(0, 0, 255), 2);imshow("Curve Fitting", img);waitKey(0);return 0;
}

‌关键点‌：

• 使用 solve() 解多项式方程组
• 支持任意次多项式（需修改矩阵维度）
• 通过 DECOMP_SVD 提高数值稳定性

在C++中，我们可以使用Eigen库或手动实现最小二乘法：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>struct Point {double x, y;
};int main() {std::vector<Point> points = {{1, 2}, {2, 5}, {3, 10}, {4, 17}};int n = points.size();Eigen::MatrixXd A(n, 3); // 二次方程有3个参数a, b, cEigen::VectorXd b(n); // y值Eigen::Vector3d coeffs; // 系数向量for (int i = 0; i < n; ++i) {A(i, 0) = points[i].x * points[i].x; // x^2A(i, 1) = points[i].x;               // xA(i, 2) = 1;                        // 1 (constant term)b(i) = points[i].y;                // y值}coeffs = A.bdcSvd(Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV).solve(b);std::cout << "Coefficients: " << coeffs.transpose() << std::endl; // a, b, creturn 0;
}

3. 圆拟合

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <vector>using namespace cv;
using namespace std;int main() {// 生成模拟点集（实际应用中可通过findContours获取轮廓）vector<Point2f> points;for (int angle = 0; angle < 360; angle += 30) {float radian = angle * CV_PI / 180;points.emplace_back(100 + 50*cos(radian), 100 + 50*sin(radian));}// 最小包围圆拟合Point2f center;float radius;minEnclosingCircle(points, center, radius);// 可视化Mat img = Mat::zeros(200, 200, CV_8UC3);for (const auto& p : points) {circle(img, p, 3, Scalar(0, 255, 0), FILLED);}circle(img, center, cvRound(radius), Scalar(0, 0, 255), 1);imshow("Circle Fitting", img);waitKey(0);return 0;
}