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1. **廣義逆矩陣的概念與計算**：

對於矩陣 \(A\)（不一定是方陣），若存在矩陣 \(A^-\) 使得 \(AA^-A = A\)，則稱 \(A^-\) 為 \(A\) 的一個廣義逆矩陣。廣義逆矩陣不唯一。

特別地，若矩陣 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩陣且 \(rank(A) = r\)，可以利用矩陣的相抵標準形等方法來計算廣義逆矩陣。例如，若 \(A = P\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}Q\)（\(P\) 是 \(m\) 階可逆矩陣，\(Q\) 是 \(n\) 階可逆矩陣），則 \(A^- = Q^{-1}\begin{pmatrix}I_r&B\\C&D\end{pmatrix}P^{-1}\)，其中 \(B\)，\(C\)，\(D\) 是適當階數的任意矩陣。

2. **線性空間上的雙線性函數及其性質**：

設 \(V\) 是數域 \(P\) 上的線性空間，\(f(\alpha,\beta)\) 是 \(V\times V\) 到 \(P\) 的映射，若對於任意的 \(\alpha,\alpha_1,\alpha_2\in V\)，\(\beta,\beta_1,\beta_2\in V\) 和 \(k\in P\)，有：

\(f(\alpha_1 + \alpha_2,\beta)=f(\alpha_1,\beta)+f(\alpha_2,\beta)\)； - \(f(k\alpha,\beta)=kf(\alpha,\beta)\)；

\(f(\alpha,\beta_1 + \beta_2)=f(\alpha,\beta_1)+f(\alpha,\beta_2)\)；

\(f(\alpha,k\beta)=kf(\alpha,\beta)\)， 則稱 \(f(\alpha,\beta)\) 是 \(V\) 上的雙線性函數。

雙線性函數在不同基下的矩陣是合同的，即若 \(f(\alpha,\beta)\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 下的矩陣為 \(A\)，在基 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 下的矩陣為 \(B\)，且由基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 到基 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 的過渡矩陣為 \(P\)，則 \(B = P^TAP\)。

3. **歐幾里得空間中正交投影的應用**：

設 \(W\) 是歐幾里得空間 \(V\) 的子空間，對於任意的 \(\alpha\in V\)，存在唯一的 \(\alpha_1\in W\) 和 \(\alpha_2\in W^\perp\)（\(W^\perp\) 是 \(W\) 的正交補空間），使得 \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)，其中 \(\alpha_1\) 稱為 \(\alpha\) 在 \(W\) 上的正交投影。正交投影在數據處理、信號分析等領域有廣泛應用，例如在信號降噪中，可以將含噪信號投影到信號所在的子空間，從而去除噪聲部分。

**例題解析**：

1. 求矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) 的一個廣義逆矩陣。

解： - 令 \(A^- = \begin{pmatrix}1&k\\l&m\end{pmatrix}\)，其中 \(k\)，\(l\)，\(m\) 為任意實數。

計算 \(AA^-A\)： - \(AA^-A = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&k\\l&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&k\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=A\)。

所以 \(\begin{pmatrix}1&k\\l&m\end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的一個廣義逆矩陣，例如取 \(k = 0\)，\(l = 0\)，\(m = 0\) 時，\(A^- = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) 就是 \(A\) 的一個廣義逆矩陣。 2. 設 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^2\)，定義雙線性函數 \(f((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = x_1x_2 + 2x_1y_2 + 3y_1x_2 + 4y_1y_2\)，求 \(f(\alpha,\beta)\) 在基 \(\alpha_1=(1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1)\) 下的矩陣 \(A\)。

解：

根据雙線性函數在基下矩陣的定義，\(a_{ij}=f(\alpha_i,\alpha_j)\)。

\(a_{11}=f((1,0),(1,0)) = 1\times1 + 2\times1\times0 + 3\times0\times1 + 4\times0\times0 = 1\)。

\(a_{12}=f((1,0),(0,1)) = 1\times0 + 2\times1\times1 + 3\times0\times0 + 4\times0\times1 = 2\)。

\(a_{21}=f((0,1),(1,0)) = 0\times1 + 2\times0\times0 + 3\times1\times1 + 4\times1\times0 = 3\)。

\(a_{22}=f((0,1),(0,1)) = 0\times0 + 2\times0\times1 + 3\times1\times0 + 4\times1\times1 = 4\)。

所以 \(f(\alpha,\beta)\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)。

3. 已知歐幾里得空間 \(\mathbb{R}^3\) 中的子空間 \(W\) 由向量 \(\xi=(1,1,0)\) 生成，求向量 \(\alpha=(2,3,4)\) 在 \(W\) 上的正交投影。

解：

首先，求 \(\frac{(\alpha,\xi)}{(\xi,\xi)}\xi\)。

計算 \((\alpha,\xi)=2\times1 + 3\times1 + 4\times0 = 5\)，\((\xi,\xi)=1\times1 + 1\times1 + 0\times0 = 2\)。

則 \(\frac{(\alpha,\xi)}{(\xi,\xi)}\xi=\frac{5}{2}(1,1,0)=(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0)\)。

所以向量 \(\alpha=(2,3,4)\) 在 \(W\) 上的正交投影為 \((\frac{5}{2},\frac{5}{2},0)\)。

4. 設 \(V\) 是數域 \(\mathbb{R}\) 上的 \(3\) 維線性空間，\(f(\alpha,\beta)\) 是 \(V\) 上的雙線性函數，在基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)，若基 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 與基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 的過渡矩陣 \(P = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，求 \(f(\alpha,\beta)\) 在基 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 下的矩陣 \(B\)。

解：

根据雙線性函數在不同基下矩陣的關係 \(B = P^TAP\)。

先計算 \(P^T = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)。

則 \(B = \begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)。

先計算 \(\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&8\\5&9&11\end{pmatrix}\)。

再計算 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&8\\5&9&11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&5\\3&9&14\\5&14&20\end{pmatrix}\)。

所以 \(f(\alpha,\beta)\) 在基 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 下的矩陣 \(B = \begin{pmatrix}1&3&5\\3&9&14\\5&14&20\end{pmatrix}\)。

5. 已知矩陣 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}\)，求其一個廣義逆矩陣。

解： - 先對 \(A\) 進行初等行變換化為相抵標準形，\(A = \begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}\xrightarrow[]{R_2 - 2R_1}\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}\xrightarrow[]{\frac{1}{2}R_1}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\0&0\end{pmatrix}\)。

可令 \(P = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\)，\(Q = \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\)，則 \(A = P\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}Q\)。

取 \(B = \begin{pmatrix}1&k\\l&m\end{pmatrix}\)，則 \(A^- = Q^{-1}\begin{pmatrix}1&k\\l&m\end{pmatrix}P^{-1}\)，其中 \(Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\)，\(P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\)。

例如取 \(k = 0\)，\(l = 0\)，\(m = 0\)，\(A^- = \begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)。

經檢驗 \(AA^-A = \begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}=A\)，所以 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) 是 \(A\) 的一個廣義逆矩陣。

6. 在歐幾里得空間 \(\mathbb{R}^2\) 中，子空間 \(W\) 是 \(x\) 軸（即由向量 \((1,0)\) 生成），求向量 \((3,4)\) 在 \(W\) 上的正交投影。

解：

計算 \(\frac{((3,4),(1,0))}{((1,0),(1,0))}(1,0)\)。

因為 \(((3,4),(1,0)) = 3\times1 + 4\times0 = 3\)，\(((1,0),(1,0)) = 1\times1 + 0\times0 = 1\)。 - 所以 \(\frac{((3,4),(1,0))}{((1,0),(1,0))}(1,0)=3(1,0)=(3,0)\)，即向量 \((3,4)\) 在 \(W\) 上的正交投影為 \((3,0)\)。