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生物芯片

题目描述

X 博士正在研究一种生物芯片，其逻辑密集度、容量都远远高于普通的半导体芯片。

博士在芯片中设计了 nn 个微型光源，每个光源操作一次就会改变其状态，即：点亮转为关闭，或关闭转为点亮。

这些光源的编号从 1 到 nn，开始的时候所有光源都是关闭的。

博士计划在芯片上执行如下动作：

所有编号为 2 的倍数的光源操作一次，也就是把 2 4 6 8 ⋯⋯ 等序号光源打开;

所有编号为 3 的倍数的光源操作一次, 也就是对 3 6 9 ⋯⋯ 等序号光源操作，注意此时 6 号光源又关闭了。

所有编号为 4 的倍数的光源操作一次。

⋯⋯

直到编号为 nn 的倍数的光源操作一次。

X 博士想知道：经过这些操作后，某个区间中的哪些光源是点亮的。

输入描述

输入 3 个用空格分开的整数：N L R(L<R<N<1015)N L R(L<R<N<1015)，NN 表示光源数，LL 表示区间的左边界，RR 表示区间的右边界。

输出描述

输出 1 个整数，表示经过所有操作后，[L,R][L,R] 区间中有多少个光源是点亮的。

输入输出样例

示例

输入

5 2 3

输出

2

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 382  |  总提交次数: 550  |  通过率: 69.5%

难度: 中等   标签: 2014, 思维, 国赛

问题分析

1. ​​操作规则​​：

   • 初始状态：所有光源关闭。
   • 执行操作：对编号为 k 的倍数光源切换状态（k 从 2 到 N）。
   • 最终状态：操作奇数次的光源点亮，偶数次的光源关闭。

2. ​​关键数学性质​​：

   • 光源 x 被操作的次数等于其 ​​除 1 以外的因子个数​​（因为操作从 k=2 开始）。
   • 操作次数的奇偶性由因子个数决定：
     • 若 ​​因子个数为奇数​​ → 操作次数为偶数 → 光源关闭。
     • 若 ​​因子个数为偶数​​ → 操作次数为奇数 → 光源点亮。
   • ​​完全平方数​​的因子个数为奇数（如 4 的因子是 1,2,4），因此最终关闭；​​非完全平方数​​的因子个数为偶数（如 2 的因子是 1,2），因此最终点亮。

3. ​​问题转化​​：

   • 求 [L, R] 中点亮的灯数 = 区间内 ​​非完全平方数的个数​​。
   • 公式：ans=(R−L+1)−(⌊R​⌋−⌊L−1​⌋)其中：
     • R−L+1：区间总光源数。
     • ⌊R​⌋：≤ R 的最大完全平方数数量。
     • ⌊L−1​⌋：< L 的最大完全平方数数量。

     • #include <iostream>
       #include <cmath>
       using namespace std;int main() {long long n, l, r;cin >> n >> l >> r;// 计算区间长度long long len = r - l + 1;// 计算 [1, L-1] 和 [1, R] 内的完全平方数数量long long a = (l - 1 > 0) ? (long long)sqrtl(l - 1) : 0;long long b = (long long)sqrtl(r);// 完全平方数在 [L, R] 中的数量long long count_square = b - a;// 非完全平方数数量 = 总光源数 - 完全平方数数量long long ans = len - count_square;cout << ans << endl;return 0;
       }

       代码解释

     • ​​输入处理​​：

       • 读入 N（光源总数）、L（区间左边界）、R（区间右边界）。

     • ​​区间长度计算​​：

       • len = r - l + 1 表示 [L, R] 内的总光源数。

     • ​​完全平方数计数​​：

       • ​​a = sqrtl(l-1)​​：计算 < L 的最大完全平方数数量（如 L=3 时，a = sqrt(2)≈1，对应完全平方数 1）。
       • ​​b = sqrtl(r)​​：计算 ≤ R 的最大完全平方数数量（如 R=6 时，b = sqrt(6)≈2，对应完全平方数 1,4）。
       • ​​count_square = b - a​​：区间 [L, R] 内完全平方数的数量（如 [3,6] 中只有 4）。

     • ​​结果计算​​：

       • ans = len - count_square：非完全平方数数量即为点亮的灯数。

     • 复杂度分析

     • ​​时间复杂度​​：O(1)，仅需两次开方运算。
     • ​​空间复杂度​​：O(1)，仅用常数级变量。

     • 示例验证

     • ​​输入 5 2 3​​：

       • 区间 [2,3] 总长度 = 2。
       • 完全平方数：无（a = sqrt(1)=1, b = sqrt(3)≈1 → count_square=0）。
       • 输出 2（正确）。

     • ​​输入 10 3 6​​：

       • 区间 [3,6] 总长度 = 4。
       • 完全平方数：4（a = sqrt(2)≈1, b = sqrt(6)≈2 → count_square=1）。
       • 输出 3（正确）。