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这段代码实现了一个多重背包问题的动态规划解法，并且使用了二进制拆分（或称二进制优化）来优化物品的数量处理。这种方法可以显著减少状态转移的次数，提高算法的效率。以下是代码的详细思路解析：

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1. 问题背景

给定 n 个物品，每个物品有其体积 a、价值 b 和数量 s，以及一个容量为 m 的背包。目标是选择物品使得总价值最大，同时总容量不超过背包的容量。与完全背包问题不同的是，多重背包问题中每个物品的数量是有限的。

2. 二进制拆分的概念

二进制拆分是一种优化技巧，用于处理多重背包问题中的物品数量。通过将每个物品的数量 s 拆分成若干个部分，每个部分的数量为 2^k（k 从 0 开始），可以显著减少状态转移的次数。例如，如果 s = 13，可以拆分成 1 + 2 + 4 + 6，其中 1 + 2 + 4 = 7，剩余的 6 作为最后一部分。

3. 代码逻辑解析

(1) 输入数据

cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s){cnt++;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s > 0){cnt++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}
}
n = cnt;

• 用户输入物品数量 n 和背包容量 m。

• 对于每个物品，输入其体积 a、价值 b 和数量 s。

• 使用二进制拆分将每个物品的数量 s 拆分成若干个部分，每个部分的数量为 2^k。

• 将每个部分作为一个新的物品，存储到数组 v 和 w 中。

• 更新物品总数 n 为拆分后的物品数量 cnt。

(2) 动态规划状态转移

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

1. 外层循环：

   • 遍历每个物品，从第 1 个到第 n 个。

2. 内层循环：

   • 遍历背包的每个容量，从 m 到 v[i]（逆序遍历）。

   • 逆序遍历的原因是避免重复使用同一个物品。如果正序遍历，同一个物品可能会被多次使用，从而变成完全背包问题。

3. 状态转移：

   • f[j] 表示在容量为 j 的背包下的最大价值。

   • 不选择第 i 个物品：f[j] 保持不变。

   • 选择第 i 个物品：如果当前容量 j 大于等于第 i 个物品的体积 v[i]，则可以考虑选择第 i 个物品，更新 f[j] 为 f[j - v[i]] + w[i]，即在容量为 j - v[i] 的背包下的最大价值加上第 i 个物品的价值。

(3) 输出结果

cout << f[m] << endl;

• 输出最终的最大价值，即 f[m]。

4. 代码效率分析

• 时间复杂度：

  • 二进制拆分将每个物品的数量 s 拆分成若干个部分，每个部分的数量为 2^k，因此每个物品最多被拆分成 O(log s) 个部分。

  • 动态规划的状态转移时间复杂度为 O(n × m)，其中 n 是拆分后的物品数量。

  • 总时间复杂度为 O(n × m × log s)。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个一维数组 f，空间复杂度为 O(m)。

5. 示例运行

输入：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出：

10

6. 总结

这段代码的核心思路是通过动态规划解决多重背包问题，并使用二进制拆分优化物品的数量处理。通过维护一个一维数组 f，记录不同状态下的最大价值，并通过状态转移方程更新最大价值，最终找到在给定背包容量下的最大价值。这种方法的时间复杂度为 O(n × m × log s)，空间复杂度为 O(m)，适用于中等规模的多重背包问题。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;// 定义常量 N 和 M，N 用于数组大小，M 这里未使用
const int N = 25000, M = 2010;
// n 表示物品的种类数，m 表示背包的容量
int n, m;
// v 数组存储物品的体积，w 数组存储物品的价值
int v[N], w[N];
// f 数组是一维数组，f[j] 表示背包容量为 j 时能获得的最大价值
int f[N];int main()
{// 输入物品的种类数 n 和背包的容量 mcin >> n >> m;// cnt 用于记录经过二进制优化后物品的数量int cnt = 0;// 循环处理每种物品for(int i = 1; i <= n; i ++){// 输入当前物品的体积 a、价值 b 和数量上限 sint a, b, s;cin >> a >> b >> s;// k 用于二进制拆分，初始为 1int k = 1;// 进行二进制拆分while(k <= s){// 物品数量加 1cnt ++;// 计算拆分后物品的体积v[cnt] = a * k;// 计算拆分后物品的价值w[cnt] = b * k;// 减去已拆分的数量s -= k;// k 乘以 2，继续下一次拆分k *= 2;}// 如果还有剩余数量，将剩余部分作为一个新物品if(s > 0){cnt ++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}// 更新物品的种类数为拆分后的数量n = cnt;// 使用 0 - 1 背包的方法进行动态规划for(int i = 1; i <= n; i ++)// 内层循环从背包的最大容量 m 开始，递减到当前物品的体积 v[i]for(int j = m; j >= v[i]; j --)// 比较不选择第 i 个物品和选择第 i 个物品两种情况下的最大价值f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);// 输出背包容量为 m 时能获得的最大价值cout << f[m] << endl;return 0;
}