代码随想录算法训练营第二十八天，动态规划理论基础，509.斐波那契数，70.爬楼梯，746.使用最小花费爬楼梯。

今日内容：动态规划理论基础，509.斐波那契数，70.爬楼梯，746.使用最小花费爬楼梯。

动态规划理论基础

动态规划的解题步骤

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

509.斐波那契数

按照解题步骤来：

1. 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]表示第i个斐波那契数。
2. 确定递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp数组如何初始化：dp[0] = 0; dp[1] = 1;
4. 确定遍历顺序：从前向后进行遍历，即从0开始一直到n。
5. 举例推导dp数组。

int fib(int n) {
    if(n <= 1) return n;
    vector<int> dp(n + 1);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

时间复杂度：O(n)；
空间复杂度：O(n)。

优化

只用维护dp[i - 1]和dp[i - 2]。

int fib(int n) {
    if(n <= 1) return n;
    vector<int> dp(2);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        int sum = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        dp[0] = dp[1];
        dp[1] = sum;
    }
    return dp[1];
}

时间复杂度：O(n)；
空间复杂度：O(1)。

70.爬楼梯

同样按照解题步骤来：

1. 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]是爬到第i层存在的方法。
2. 确定递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]：因为每次可以爬1个或2个台阶，因此是下1个台阶的方法种类再加上下2个台阶的方法种类。
3. dp数组如何初始化：dp[1] = 1; dp[2] = 2;
4. 确定遍历顺序：同样是从前向后遍历。
5. 举例推导dp数组

int climbStairs(int n) {
    if(n <= 1) return 1;
    vector<int>  dp(3);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i = 3; i <= n; i++){
        int sum = dp[1] + dp[2];
        dp[1] = dp[2];
        dp[2] = sum;
    }
    return dp[2];
}

时间复杂度：O(n)；
空间复杂度：O(1)。

746.使用最小花费爬楼梯

与70相同的做法，还是套模版。

1. 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]代表到达下标为i层楼梯的最低花费。
2. 确定递推公式：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
3. dp数组如何初始化：dp[0] = 0; dp[1] = 0;
4. 确定遍历顺序：同样是从前向后遍历。
5. 举例推导dp数组

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
    vector<int> dp(cost.size() + 1);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= cost.size(); i++){
        dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    }
    return dp[cost.size()];
}

时间复杂度：O(n)；
空间复杂度：O(n)。