【算法】二分查找总结篇
目录
二分查找
一、核心思想
二、区间选择与模板
三、常见题型与处理技巧
四、解题步骤归纳
本文是对【算法之路】专栏中的【手撕二分查找】、【二分查找上】、【二分查找下】进行总结。希望看完本篇后，大家能够独立解决二分查找的题目
二分查找
一、核心思想
二分查找通过每次缩小一半的搜索范围，将时间复杂度降至O(log N)。关键在于：
1.有序性：数据(或部分)具有某种有序性或单调性
2.边界调整：根据中间值与目标条件的关系，调整左右边界
二、区间选择与模板
根据问题需求选择区间形式，常见两种：
1.左闭右闭 [left,right]--【相错终止】
初始化：left=0，right=nums.length-1
循环条件：while(left<=right)
边界调整：left=mid+1或right=mid-1
适用场景：标准查找、确定存在性
2.左闭右开 [left,right)--【相遇终止】
初始化：left=0，right=nums.length
循环条件：while(left<right)
边界调整：left=mid+1或right=mid
适用场景：寻找边界(如第一个/最后一个位置)--【相遇时即为返回结果】
三、常见题型与处理技巧
1.标准二分查找
目标：找到特定元素或确认存在性
模板：
//左闭右闭
public static int binary_search(int[] nums,int target){
int left=0;
int right=nums.length-1;
while(left<=right){
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]==target){
return mid;
}else if(nums[mid]>target){
right=mid-1;
}else{
left=mid+1;
}
}
}2.寻找左边界
目标：找到第一个等于目标的索引
模板：
//左闭右开--相遇终止
//寻找左边界
//(如：1 1 2 2 3 3 4 5 6)--返回第一个1/2/3
public static int binary_search(int[] nums,int target){
int left=0;
int right=nums.length;
while(left<right){
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]>=target){
right=mid;
}else{
left=mid+1;
}
}
return left;
}3.寻找右边界
目标：找到最后一个等于目标的索引
模板：
//左闭右开--相遇终止
//寻找右边界
//(如：1 1 2 2 3 3 4 5 6)--返回第二个1/2/3
public static int binary_search(int[] nums,int target){
int left=0;
int right=nums.length;
while(left<right){
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]<=target){
left=mid+1;
}else{
right=mid;
}
}
//left与right相遇于第一个大于target的位置
//所以left-1即为所求的右边界
return nums[left-1]==target?left-1:-1;
}4.极值问题(如峰值、旋转点)
关键：利用局部有序性缩小范围
示例(寻找峰值--162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）)：
//左闭右开--相遇终止
//寻找峰值：如：[1,2,3,1]的元素3
public static int binary_search(int[] nums,int target){
int left=0;
int right=nums.length-1;//注意这里原本应该为nums.length
//但由于数组可能只有一个元素，会导致后续代码有越界。
while(left<right){
int mid=left+(right-left)/2;
if(nums[mid]>nums[mid+1]){
right=mid;
}else{
left=mid+1;
}
}
return left;
}5.条件判断型(如最小运载能力)
步骤：
·确定搜索范围
·编写check函数验证条件
·二分查找满足条件的最小值
例题：
题目链接：1011. 在 D 天内送达包裹的能力 - 力扣（LeetCode）
题目描述：
传送带上的包裹必须在
days天内从一个港口运送到另一个港口。传送带上的第
i个包裹的重量为weights[i]。每一天，我们都会按给出重量（weights）的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。返回能在
days天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。示例 1：
输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], days = 5 输出：15 解释： 船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示： 第 1 天：1, 2, 3, 4, 5 第 2 天：6, 7 第 3 天：8 第 4 天：9 第 5 天：10 请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。示例 2：
输入：weights = [3,2,2,4,1,4], days = 3 输出：6 解释： 船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示： 第 1 天：3, 2 第 2 天：2, 4 第 3 天：1, 4示例 3：
输入：weights = [1,2,3,1,1], days = 4 输出：3 解释： 第 1 天：1 第 2 天：2 第 3 天：3 第 4 天：1, 1提示：
1 <= days <= weights.length <= 5 * 10^41 <= weights[i] <= 500
题目分析：
简单来说，我们需要在days天内运送完所有包裹，在满足这一前提下，求出每天的运载包裹总重量的最小值x。也就是当每天运载的包裹总重量小于等于x时，我们可以在days天内运送完所有包裹
那么，如何求出每天运载包裹总重量的最小值呢？
我们将 能够在days天内运送完所有包裹 设为事件A
1.在 【最大的包裹重量 和 所有的包裹重量之和】 的区间内，找到一个值x。--初始化左右边界
2.判断值x能够让事件A成立。--设置check函数。如果成立，则可以继续缩小区间。不成立则返回上一次记录的值x
解题代码：
class Solution {
public static int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
//初始化left为最大的包裹重量
//right为总的包裹重量
int left=0;
int right=0;
for(int weight:weights){
left=Math.max(left,weight);
right+=weight;
}
//在[left,right]区间内，找到一个最小值x
//使得每天运载包裹重量小于等于x，在days内能够运送完所有包裹
//使用二分查找
int ans=0;//记录值x
while(left<=right){
int mid=left+(right-left)/2;
if(check(weights,mid,days)){
//如果运载能力为mid时，能够在days天内运送完所有包裹，记录答案,缩减区间
ans=mid;
right=mid-1;
}else{
left=mid+1;
}
}
return ans;
}
private static boolean check(int[] weights, int mid, int days) {
//每一天运送的包裹总重量
int sum=0;
int day=1;//天数
for(int weight:weights){
//如果今天运送包裹重量超过mid，就留到下一天装
if(sum+weight>mid){
day++;
//下一天的运送包裹前，需要清零
sum=0;
}
sum+=weight;
}
//是否小于等于days天
return day<=days;
}
}四、解题步骤归纳
1.明确问题类型：查找位置、寻找边界、极值或条件判断
2.选择区间形式：左闭右闭/左闭右开
3.确定循环条件：根据区间形式选择<=或者<
4.调整边界：通过比较中间值与目标条件，决定左右如何移动
5.处理结果：检查结果有效性(如越界、是否存在等)