ch05 课堂参考代码

ch05 数论

素数筛

目标：筛选出 $1\sim n$ 范围内的所有素数（质数）

为了让时间复杂度是线性的 $O(n)$ ，需要保证每个合数只被标记一次，不能重复标记。

欧拉筛的做法是令 x 只被它的最小质因子 $p_1$ 乘以 $i$ 标记为合数。

为了做到这一点，当 i % p == 0 时，就不用枚举更大的质数了，可以跳出循环。

代码：

const int N = 50000010;
bool isp[N]; // isp[x]=true表示x是质数，false表示不是质数
vector<int> prime; // prime储存质数
void eulerPrime(int n) { // 筛选出1~n范围的所有质数
    memset(isp, true, sizeof(isp));
    isp[0] = isp[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isp[i]) prime.push_back(i);
        for (int p : prime) { // 遍历当前筛出的所有质数
            if (i * p > n) break;
            isp[i * p] = false; // 数字i*p是合数，p是i*p的最小质因数
            if (i % p == 0) break; // 保证每个合数只被最小质因子*i标记
        }
    }
}

欧拉筛不止可以用来筛素数，也可以在筛素数过程中顺便记录每个数的最小质因子、最小质因子对应的指数等。

模运算定律

加法：(a + b) % m == (a % m + b % m) % m

乘法：(a * b) % m == (a % m) * (b % m) % m

减法：(a − b) % m == (a % m − b % m + m) % m

• 注意出现负数（减法）的地方，要 + m，避免计算结果为负数

• 对于要求答案 % m 的题目，通常不能等到输出答案时才 % m，因为计算过程就可能溢出数据范围了，所以要利用上面的模运算定律在计算过程中 % m。

除法：除法没有简单的模运算定律。想要在除法的计算过程中取模，需要使用逆元。

指数：

• 特别注意指数不能直接 % m ，例如要计算 $a^b\%m$ ，算成了 $a^{b\%m}\%m$ 就会出错。
• 对指数取模要用到扩展欧拉定理，不是本节课内容。

快速幂

快速幂是在 $O(\log b)$ 的时间复杂度内计算 $a^b$ 的技巧 。思想是将幂的计算按照指数的二进制表示来分割成更小的任务。

ll fastPow(ll a, ll b, int p) {
    a %= p;
    if (b == 0) return 1;
    ll tmp = fastPow(a, b / 2, p);
    if (b & 1) return tmp * tmp % p * a % p;
    return tmp * tmp % p;
}

逆元

除以 x，相当于乘以“x 的乘法逆元”，这样就可以避免除法运算。

费马小定理：如果 p 是一个质数，并且 x 不是 p 的倍数，则有 $x^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

代码：

// 返回 x 模 m 意义下的乘法逆元
ll inv(ll x, int m) {
    if (x % p == 0) return -1; // -1 表示 x 不存在模 m 意义下的乘法逆元
    return fastPow(x, m - 2, m);
}

由费马小定理求逆元比较方便，也好理解，但有局限性，注意 p 必须是质数。

除法取模：计算 a / x % m 可以转换为 a * inv(x, m) % m