【算法】动态规划：回文子串问题、两个数组的dp
回文子串问题
回文子串
- 回文子串
定义 dp[i][j] 表示以i位置元素为头，j位置元素为尾的回文子串，i <= j，要特别注意填表顺序。
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
int ret = 0;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = i; j < n; j++)
{
if (s[i] == s[j])
dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
if (dp[i][j]) ret++;
}
}
return ret;
}
};
最长回文子串
- 最长回文子串
一边填dp表，一边统计最长的回文子串。
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
int begin = 0, len = 1;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i; j < n; j++)
{
if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
if (dp[i][j] && j - i + 1 > len)
{
len = j - i + 1;
begin = i;
}
}
return s.substr(begin, len);
}
};
分割回文串 IV
- 分割回文串 IV
class Solution {
public:
bool checkPartitioning(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i; j < n; j++)
if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
for (int j = 0; j < n - 1; j++)
if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][n - 1])
return true;
return false;
}
};
分割回文串 II *
- 分割回文串 II
定义状态 dp[i] 表示0-i区间符合要求的最少分割次数。
如果 j - i 是回文子串，则 dp[i] = dp[j - 1] + 1；后面的+1表示分割一次。
class Solution {
public:
int minCut(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n));
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
for (int j = i; j < n; j++)
if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;
vector<int> dp(n, INT_MAX);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;
else
{
for (int j = 1; j <= i; j++)
if (isPal[j][i])
dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n - 1];
}
};
最长回文子序列
- 最长回文子序列
定义状态 dp[i][j] 表示区间 i到j 范围内的所有子序列中，最长回文子序列的长度。
当首尾两个元素「相同」的时候，也就是s[i] == s[j] ：那么[i, j] 区间上的最长回文子序列，应该是[i + 1, j - 1] 区间内的那个最长回文子序列首尾填上s[i] 和s[j] ，此时dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2.
当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])。
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
dp[i][i] = 1;
for (int j = i + 1; j < n; j++)
{
if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
}
}
return dp[0][n - 1];
}
};
让字符串成为回文串的最少插入次数
- 让字符串成为回文串的最少插入次数
定义状态 dp[i][j] 表示让i到j区间称为回文串的最小插入次数。
i == j 时不用考虑，在初始化dp表的时候其中的值默认为0，所以直接在 j = i + 1 处开始遍历；i + 1 == j 可以放在 i + 1 < j 中，因为 dp[i + 1][j - 1] 访问的是 i + 1 == j 的左下角，这个位置刚好用不到，默认也为0。
当 s[i] != s[j] 时，我们假定在i的左边插入一个s[j]，或在j的右边插入一个s[i]，然后就可以在 dp[i][j - 1] 或 dp[i + 1][j] 中找最小操作次数。
class Solution {
public:
int minInsertions(string s) {
int n = s.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
for (int j = i + 1; j < n; j++)
if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
return dp[0][n - 1];
}
};
两个数组的dp
最长公共子序列
- 最长公共子序列
定义状态 dp[i][j] 为s1的[0, i]区间和s2的[0, j]区间中所有的子序列中，最长公共子序列的长度。
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.size(), n = text2.size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (text1[i-1] == text2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
return dp[m][n];
}
};
不相交的线
- 不相交的线
说白了我白说了，这就是 “最长公共子序列”。
我是程序猿，我可以作证，代码一模一样。
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
return dp[m][n];
}
};
不同的子序列
- 不同的子序列
dp[i][j]表示s的[0, j]区间中所有的子序列中有多少个t的[0, j]区间的子串。
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
const int mod = 1e9 + 7;
int m = t.size(), n = s.size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 0; i < n; i++) dp[0][i] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
if (s[j - 1] == t[i - 1])
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod;
}
}
return dp[m][n];
}
};
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