多源最短路径算法（竞赛）

一、思路

和松弛思想一样，任意两点之间的最短距离不可能全是直接的从 i 到 j，一定会有中间节点，所以我们设任意两点最短路径之间存在 k 个节点，分别遍历出 k 从 1 到 n 节点最小路径值那就是 ij 两点之间的最短路径算法。

dp 方程：

不选中间节点：dp[k][i][j] = dp[k - 1][i][j];
选中间节点 k：dp[k][i][j] = dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j];
这一层的k完全依赖于上一层的k - 1，所以变成二维
因为要取min，而且一开始ij不知道多长，所以不知道的ij是无穷，ii才是0

二、例题

B3647 【模板】Floyd - 洛谷

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int n, m;
const int N = 110;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
// 要求ij距离，i直接到j不一定是最短距离，所以要在ij之间添加k个节点，逐渐计算
// i ... k1 ... k2 ... j中最短的那个距离，所以是k从1开始遍历，每添加一个k就取一次min
// 不选中间节点：dp[k][i][j] = dp[k - 1][i][j];
// 选中间节点 k：dp[k][i][j] = dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j];
// 这一层的k完全依赖于上一层的k - 1，所以变成二维
// 因为要取min，而且一开始ij不知道多长，所以不知道的ij是无穷，ii才是0

void F()
{
	vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, INF));
	while(m--)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        // 取min防止给我重复的大的权值 
		dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        dp[i][i] = 0;
    for(int k = 1; k <= n; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            cout << dp[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }            
}


int main()
{
    cin >> n >> m;
    F();
    return 0;
}