字节跳动算法高频题：动态规划最优模板

本文系统梳理字节跳动近三年算法面试中的动态规划（DP）高频题型，提炼出适用于80%场景的通用解题模板。通过背包问题、字符串处理、状态压缩等六大核心模块解析，结合跳槽、股票交易、编辑距离等15道真题案例，揭示动态规划的状态转移方程构建规律与维度优化技巧，助您在面试中实现时间复杂度与空间复杂度的双重最优解。

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第一章 动态规划基础框架

1.1 动态规划三大特征

特征	判定标准	真题案例
重叠子问题	递归树中存在重复计算节点	斐波那契数列
最优子结构	全局最优解包含局部最优解	最长递增子序列
无后效性	当前状态只与前一状态相关	不同路径问题

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1.2 四步解题法模板

1.2.1 状态定义公式化

模板要素：

• 维度选择：1D/2D/高维状态
• 语义描述：dp[i][j]表示在条件i、j下的最优解

示例（股票买卖）：
dp[i][k][0]：第i天完成k次交易后不持有股票的最大收益

1.2.2 状态转移方程

通用结构：

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dp[i] = max/min(dp[i-1] +决策因子, 其他可能选择)

1.2.3 初始化与边界条件

• 初始状态：通常为dp[0]或dp[0][0]
• 边界处理：数组越界、负索引的防御性编程

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第二章 高频题型分类解析

2.1 背包问题变形

2.1.1 01背包最优模板

参数	定义说明
物品数量n	可选取物品总数
背包容量W	总承载限制
状态转移方程	dp[j] = max(dp[j], dp[j-w] + v)

字节真题案例：
"字节电商货物装载"（2023校招题）：给定N个包裹的重量与运费，选择总重≤W且运费最大的组合

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2.2 字符串处理

2.2.1 编辑距离优化版

操作	时间复杂度优化方案
插入/删除	滚动数组降维至O(n)
替换	预处理字符映射表减少比较次数

状态方程：

text复制

dp[i][j] = min( dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + cost )

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第三章 空间复杂度优化技巧

3.1 滚动数组降维

3.1.1 二维转一维

适用场景：当前状态仅依赖上一行数据
转换方法：

• 逆序更新防止覆盖未使用数据
• 示例：01背包问题空间从O(nW)优化至O(W)

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3.2 状态压缩进阶

3.2.1 位运算优化

真题案例：
"字节跳动会议室安排"（2022社招题）：使用bitmask表示会议室占用状态，将O(2^n)优化至O(n*2^n)

3.2.2 离散化处理

• 步骤：
  1. 对超大范围状态值进行哈希映射
  2. 仅保留实际出现的状态点

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第四章 时间维度优化策略

4.1 斜率优化

4.1.1 单调队列维护

适用题型：
状态转移方程形如dp[i] = max(dp[j] + f(i-j))

4.1.2 凸包优化

判断条件：
决策点形成的函数图像具有凸性

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4.2 四边形不等式

4.2.1 区间DP加速

优化效果：
将O(n^3)复杂度降低至O(n^2)

真题案例：
"字节游戏关卡设计"（2021校招题）：通过合并相邻关卡获得最大积分

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第五章 特殊场景处理方案

5.1 环形数组处理

5.1.1 破环成链法

实现步骤：

1. 将原数组复制拼接为2n长度
2. 限制窗口范围为n

真题案例：
"字节外卖骑手调度"（2023春招题）：环形区域内选择最优配送路径

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5.2 概率期望DP

5.2.1 马尔可夫链建模

状态定义：
dp[i]表示从状态i到终态的期望步数

转移方程：

text复制

dp[i] = Σ(p_ij * (dp[j] + cost_ij))

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第六章 常见错误与调试技巧

6.1 初始化陷阱

6.1.1 负无穷赋值

错误案例：
未正确初始化导致max/min比较失效

6.1.2 多维度初始化顺序

正确处理：
外层循环为第一维度，逐层向内初始化

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6.2 越界问题

6.2.1 索引偏移处理

解决方案：

• 添加虚拟头节点（如dp[0]表示空状态）
• 使用1-based索引代替0-based

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附录

附录A 高频题型速查表

题型	最优时间复杂度	空间复杂度
01背包问题	O(nW)	O(W)
最长公共子序列	O(nm)	O(min(n,m))
股票买卖IV	O(nk)	O(k)

附录B 字节真题索引

题目名称	考察重点	出现频次
跳台阶扩展版	状态压缩	★★★★☆
字符串交织	二维DP	★★★☆☆
最大整除子集	数学性质结合	★★★★☆