模板计算（Stencil Computation）简介

模板计算（Stencil Computation）详解

基本概念

模板计算（Stencil Computation）是一种广泛应用于科学计算、图像处理和数值分析等领域的计算模式。其核心思想是：对规则网格数据结构中的每个元素，应用相同的计算模式，且该计算仅依赖于该元素及其固定模式的邻居元素。

简单来说，模板计算就像是在数据网格上"滑动"一个固定形状的"模板"（或称"窗口"），对每个位置应用相同的计算规则，从而生成新的数据值。

核心组成部分

1. 数据网格（Data Grid）：

   • 数据通常被组织在规则的一维、二维或三维网格中
   • 每个网格点代表一个数据值，如温度、压力或像素值等

2. 模板（Stencil）：

   • 模板定义了计算每个网格点的新值时所需的邻域形状和大小
   • 通常以一个固定的几何形状表示，如十字形、方形或更复杂的形状
   • 包含一组权重，用于计算邻域内数据点的加权组合

3. 更新规则：

   • 每个网格点的新值通过对其邻域内的点应用某种计算规则来确定
   • 计算规则可以是简单的线性组合，也可以是更复杂的非线性函数

数学表示

对于二维模板计算，可以形式化表示为：

$$Output[i,j]=\sum _{m=-r}^r\sum _{n=-r}^{r}Kernel[m+r,n+r]\times Input[i+m,j+n]$$

其中：

• $Output[i,j]$ 是输出网格在位置 $(i,j)$ 的值
• $Input[i+m,j+n]$ 是输入网格在邻居位置的值
• $Kernel[m+r,n+r]$ 是模板权重
• $r$ 是模板半径（模板大小为 $2r+1$）

模板计算的特点

1. 局部性：

   • 模板计算只依赖于邻域内的数据点
   • 具有良好的数据局部性，有利于缓存优化
   • 相邻输出元素的计算依赖于大量重叠的输入元素

2. 规则性：

   • 对所有元素应用相同的计算规则
   • 计算模式固定，易于编译器优化和硬件加速
   • 数据访问模式可预测

3. 并行性：

   • 不同网格点之间的计算通常是独立的
   • 非常适合并行化处理（多核CPU、GPU或分布式计算）
   • 提供了大量的数据并行机会

4. 迭代性：

   • 模板计算常常是迭代进行的
   • 需要多次应用模板来逐步逼近问题的解
   • 迭代过程通常在达到某种收敛条件后停止

5. 可扩展性：

   • 可以扩展到不同的维度和不同的模板形状
   • 适应不同的应用场景和计算需求

常见示例和应用

1. 图像处理

图像模糊（高斯模糊）：

使用3×3高斯模糊卷积核：

1/16  2/16  1/16
2/16  4/16  2/16
1/16  2/16  1/16

对于图像中的每个像素，计算其周围3×3邻域内像素值的加权平均，作为该像素的新值。这样可以平滑图像，减少噪声。

边缘检测（Sobel算子）：

水平方向Sobel算子：

-1  0  1
-2  0  2
-1  0  1

垂直方向Sobel算子：

-1 -2 -1
 0  0  0
 1  2  1

应用这些算子可以检测图像中的水平和垂直边缘。

2. 科学计算

热传导模拟：

在二维网格上，可以使用五点模板来模拟热量扩散：

    0.25
0.25 0.0  0.25
    0.25

每个点的新温度是其上下左右四个相邻点当前温度的平均值。通过多次迭代，可以模拟热量从高温区域向低温区域扩散的过程。

有限差分法：

在求解偏微分方程时，常用有限差分法近似微分算子：

// 二维拉普拉斯算子的五点模板
output[i,j] = (input[i+1,j] + input[i-1,j] + 
               input[i,j+1] + input[i,j-1] - 
               4*input[i,j]) / h²

其中h是网格间距。这用于求解热传导方程、波动方程等。

3. 元胞自动机

康威生命游戏：

每个单元格的下一状态取决于它和周围八个邻居的当前状态：

// 对于每个单元格(i,j)
neighbors = count_alive(input[i-1:i+2, j-1:j+2])
if input[i,j] is alive:
    output[i,j] = alive if neighbors in [2,3] else dead
else:
    output[i,j] = alive if neighbors == 3 else dead

MLIR中的模板计算表示

MLIR（Multi-Level IR）提供了多种方式来表示和优化模板计算，从高层抽象到底层实现。

1. 高级表示（专用Stencil Dialect）

一些MLIR实现提供了专门的Stencil Dialect，直接表达模板计算语义：

// 假设的Stencil Dialect示例
%output = stencil.apply(%input : memref<100x100xf32>) -> memref<98x98xf32> {
  %result = stencil.access %input[0, 0] * 0.25 + 
                          %input[-1, 0] * 0.125 + 
                          %input[1, 0] * 0.125 + 
                          %input[0, -1] * 0.125 + 
                          %input[0, 1] * 0.125 + 
                          %input[-1, -1] * 0.0625 + 
                          %input[-1, 1] * 0.0625 + 
                          %input[1, -1] * 0.0625 + 
                          %input[1, 1] * 0.0625
  stencil.return %result : f32
}

这种表示直接捕捉了模板计算的语义，使优化更加直观。

2. Linalg Dialect表示

Linalg Dialect是对结构化数据进行结构化处理的通用表示，可以用来表示模板计算：

// 使用Linalg表示3x3卷积
%output = linalg.generic {
  indexing_maps = [
    affine_map<(i, j, k, l) -> (i + k - 1, j + l - 1)>,  // 输入
    affine_map<(i, j, k, l) -> (k, l)>,                 // 卷积核
    affine_map<(i, j, k, l) -> (i, j)>                  // 输出
  ],
  iterator_types = ["parallel", "parallel", "reduction", "reduction"]
} ins(%input, %kernel : memref<100x100xf32>, memref<3x3xf32>) 
  outs(%output : memref<98x98xf32>) {
  ^bb0(%in: f32, %k: f32, %out: f32):
    %mul = arith.mulf %in, %k : f32
    %add = arith.addf %out, %mul : f32
    linalg.yield %add : f32
}

Linalg Dialect的特点：

• 既可以将tensor作为操作数，也可以将buffer作为操作数
• 包含payload操作（执行具体运算）和struct操作（表示如何进行运算）
• 在实际应用中，外部Dialect很多情况下会先转换到Linalg Dialect再执行后续优化

3. Affine Dialect表示

Affine Dialect对多面体编译（polyhedral compilation）提供了支持，特别适合表示模板计算中的循环结构：

// 使用Affine表示3x3卷积
affine.for %i = 0 to 98 {
  affine.for %j = 0 to 98 {
    %acc = arith.constant 0.0 : f32
    
    // 3x3卷积核循环
    affine.for %k = 0 to 3 {
      affine.for %l = 0 to 3 {
        %in_val = affine.load %input[%i + %k - 1, %j + %l - 1] : memref<100x100xf32>
        %kernel_val = affine.load %kernel[%k, %l] : memref<3x3xf32>
        %prod = arith.mulf %in_val, %kernel_val : f32
        %acc_new = arith.addf %acc, %prod : f32
        // 更新累加器
        %acc = %acc_new
      }
    }
    
    affine.store %acc, %output[%i, %j] : memref<98x98xf32>
  }
}

Affine Dialect的特点：

• 包含多维数据结构的控制流操作
• 支持多维数据的循环和条件控制，存储映射操作等
• 目标是实现多面体变换，如自动并行化、循环融合和平铺

4. Vector Dialect表示

Vector Dialect提供了对SIMD（单指令多数据）或SIMT（单指令多线程）模型的抽象：

// 向量化处理示例
affine.for %i = 0 to 98 {
  affine.for %j = 0 to 98 step 4 {
    // 加载输入向量
    %in_vec_center = vector.transfer_read %input[%i, %j] : 
                     memref<100x100xf32>, vector<4xf32>
    %in_vec_north = vector.transfer_read %input[%i-1, %j] : 
                    memref<100x100xf32>, vector<4xf32>
    // ... 加载其他方向
    
    // 向量化计算
    %result = vector.fma %in_vec_center, %center_weight, %acc : vector<4xf32>
    %result = vector.fma %in_vec_north, %north_weight, %result : vector<4xf32>
    // ... 其他方向
    
    // 存储结果
    vector.transfer_write %result, %output[%i, %j] : 
                         vector<4xf32>, memref<98x98xf32>
  }
}

Vector Dialect的特点：

• 作为向量的中间表示，可以被转换到不同目标平台的底层表示
• 实现Tensor在不同平台的支持
• 包含向量化操作，如向量加载/存储、向量计算等

5. SCF Dialect表示

SCF（Structured Control Flow）Dialect提供了比控制流图CFG更高层的抽象：

// 使用SCF表示模板计算
scf.for %i = %c0 to %c98 step %c1 {
  scf.for %j = %c0 to %c98 step %c1 {
    %sum = arith.constant 0.0 : f32
    
    // 3x3邻域循环
    scf.for %di = %c_neg1 to %c2 step %c1 {
      scf.for %dj = %c_neg1 to %c2 step %c1 {
        %ni = arith.addi %i, %di : index
        %nj = arith.addi %j, %dj : index
        %val = memref.load %input[%ni, %nj] : memref<100x100xf32>
        %weight = memref.load %kernel[%di+1, %dj+1] : memref<3x3xf32>
        %prod = arith.mulf %val, %weight : f32
        %sum_new = arith.addf %sum, %prod : f32
        %sum = %sum_new
      }
    }
    
    memref.store %sum, %output[%i, %j] : memref<98x98xf32>
  }
}

SCF Dialect的特点：

• 提供结构化控制流操作，如并行的for和while循环以及条件判断
• 通常Affine和Linalg会降低到SCF
• SCF也可以降低为Standard中的基本控制流图（CFG）操作

模板计算的优化技术

1. 循环优化

循环平铺（Tiling）：
将大型计算分解为缓存友好的块，减少缓存未命中：

// 使用循环平铺
affine.for %i0 = 0 to 98 step 16 {
  affine.for %j0 = 0 to 98 step 16 {
    // 处理16x16块
    affine.for %i1 = 0 to min(16, 98-%i0) {
      affine.for %j1 = 0 to min(16, 98-%j0) {
        %i = affine.apply affine_map<(i0,i1)->(i0+i1)>(%i0, %i1)
        %j = affine.apply affine_map<(j0,j1)->(j0+j1)>(%j0, %j1)
        // 模板计算...
      }
    }
  }
}

循环融合（Loop Fusion）：
将多个循环合并，减少循环开销并提高数据局部性。

循环重排（Loop Reordering）：
改变循环嵌套顺序，优化内存访问模式。

2. 时间平铺（Temporal Tiling）

对于多时间步的模板计算，可以融合多个时间步以减少内存访问：

// 融合两个时间步的示例
affine.for %i = 1 to 97 {
  affine.for %j = 1 to 97 {
    // 计算第一个时间步
    %temp = compute_stencil(%input, %i, %j)
    // 直接使用临时结果计算第二个时间步
    %result = compute_stencil_with_temp(%input, %temp, %i, %j)
    affine.store %result, %output[%i, %j]
  }
}

3. 向量化（Vectorization）

利用SIMD指令加速模板计算：

// 向量化处理
%a_vec = vector.load %A[%i, %j] : memref<100x100xf32>, vector<4xf32>
%b_vec = vector.load %B[%i, %j] : memref<100x100xf32>, vector<4xf32>
%result = vector.add %a_vec, %b_vec : vector<4xf32>
vector.store %result, %C[%i, %j] : vector<4xf32>, memref<100x100xf32>

4. 并行化（Parallelization）

模板计算天然适合并行处理：

// 使用SCF并行循环
scf.parallel (%i, %j) = (%c0, %c0) to (%c98, %c98) step (%c1, %c1) {
  // 计算单个输出点
  // ...
}

5. 内存优化

• 数据布局优化：调整数据存储方式，提高内存访问效率
• 缓存阻塞：调整计算顺序，最大化缓存利用率
• 预取：提前加载数据到缓存，减少等待时间

实际应用领域

1. 图像处理

• 图像滤波（模糊、锐化、边缘检测）
• 图像降噪（中值滤波、双边滤波）
• 形态学操作（膨胀、腐蚀）
• 图像增强和修复

2. 科学计算

• 偏微分方程求解（热传导、流体动力学）
• 天气预报和气候模拟
• 地震波传播模拟
• 电磁场计算

3. 深度学习

• 卷积神经网络的卷积层
• 池化操作
• 图像预处理

4. 物理模拟

• 格点玻尔兹曼方法
• 分子动力学模拟
• 电磁场模拟
• 结构分析

总结

模板计算是一种强大的计算模式，在多个领域有着广泛应用。它的规则性和局部性使其特别适合并行处理和硬件加速。在MLIR中，可以通过多种抽象层次表示模板计算，从高级语义表示到低级硬件特定实现，并应用各种专门的优化技术来提高性能。

MLIR的多层次表示和转换能力为模板计算提供了强大的编译优化框架，使得从高级表示到高效实现的过程更加灵活和高效。通过理解模板计算的核心概念和优化方法，可以更好地利用MLIR来构建高性能的科学计算和图像处理应用。

资料

建议仔细学习，本文都是垃圾，下面才是干货
https://lab.cs.tsinghua.edu.cn/hpc/doc/exp/2.stencil/
https://fancyerii.github.io/pmpp/ch8/
https://www.cnblogs.com/wujianming-110117/p/17297847.html