蓝桥杯 因数计数

问题描述

小蓝随手写出了含有 n 个正整数的数组 {a1, a2, …, an}，他发现可以轻松地算出有多少个有序二元组 (i, j) 满足 aj 是 ai 的一个因数。因此，他定义一个整数对 (x1, y1) 是一个整数对 (x2, y2) 的 因数，当且仅当 x1 和 y1 分别是 x2 和 y2 的因数。

他想知道有多少个有序四元组 (i, j, k, l) 满足 (ai, aj) 是 (ak, al) 的因数，其中 i, j, k, l 互不相等。

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输入格式

• 第一行包含一个正整数 n。
• 第二行包含 n 个正整数 a1, a2, …, an，相邻整数之间使用一个空格分隔。

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输出格式

• 输出一行包含一个整数，表示满足条件的 (i, j, k, l) 的个数。

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样例输入

5
3 6 2 2 7

样例输出

4

样例说明

有效的四元组 (i, j, k, l)：

1. (1, 4, 2, 3): (3, 2) 是 (6, 2) 的因子。
2. (1, 3, 2, 4): (3, 2) 是 (6, 2) 的因子。
3. (4, 1, 3, 2): (2, 3) 是 (2, 6) 的因子。
4. (3, 1, 4, 2): (2, 3) 是 (2, 6) 的因子。

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约束

• 对于 20% 的测试用例，n ≤ 50
• 对于 40% 的测试用例，n ≤ 10^4
• 对于 100% 的测试用例，1 ≤ n ≤ 10^5, 1 ≤ ai ≤ 10^5

c++代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

vector<ll> myleft, myright, arr;
unordered_map<ll, vector<ll>> mps;
ll maxval, ans, n;

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    arr = vector<ll>(n);
    myleft = vector<ll>(100001, 0);
    myright = vector<ll>(100001, 0);
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lld", &arr[i]);
        mps[arr[i]].push_back(i);
        maxval = max(maxval, arr[i]);
    }
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        if (mps[arr[i]].size() > 1) {
            ans += mps[arr[i]].size() - 1;
            myleft[i] += mps[arr[i]].size() - 1;
            for (int x : mps[arr[i]]) {
                if (x != i) {
                    myright[x]++;
                }
            }
        }
        for (int k = arr[i] * 2; k <= maxval; k += arr[i]) {
            if (mps.find(k) != mps.end()) {
                ans += mps[k].size();
                myleft[i] += mps[k].size();
                for (int x : mps[k]) {
                    myright[x]++;
                }
            }
        }
    }
    ans = ans * (ans - 1);
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        if (myleft[i] - 1 > 0) ans -= myleft[i] * (myleft[i] - 1);
        if (myright[i] - 1 > 0) ans -= myright[i] * (myright[i] - 1);
        if (myleft[i] > 0 && myright[i] > 0) ans -= (myleft[i] * myright[i] * 2);
    }
    for (auto it = mps.begin(); it != mps.end(); it++) {
        if (it->second.size() > 1) ans += it->second.size() * (it->second.size() - 1);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}//by wqs

算法解析

本题目用容斥原理

合法方案=总方案-不合法方案

总方案

ans = ans * (ans - 1);

ai = ak

if (myleft[i] - 1 > 0) ans -= myleft[i] * (myleft[i] - 1);

aj = al

if (myright[i] - 1 > 0) ans -= myright[i] * (myright[i] - 1);

ai = al 或者 aj = ak

if (myleft[i] > 0 && myright[i] > 0) ans -= (myleft[i] * myright[i] * 2);

如果ai = al 并且 aj = ak 多减了一次，加回来

for (auto it = mps.begin(); it != mps.end(); it++) {
        if (it->second.size() > 1) ans += it->second.size() * (it->second.size() - 1);
}