3.5 二分查找专题：LeetCode 852. 山脉数组的峰值

1. 题目链接

LeetCode 852. 山脉数组的峰值索引

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2. 题目描述

给定一个山脉数组 arr（先严格递增后严格递减），返回其峰值的索引。
示例：

• 输入：arr = [0,1,0] → 输出：1
• 输入：arr = [0,2,1,0] → 输出：1

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3. 示例分析

1. 标准山脉数组：
   • arr = [1,3,5,4,2]，峰值为 5，索引为 2。
2. 峰值在中间：
   • arr = [0,10,100,50,20]，峰值为 100，索引为 2。

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4. 算法思路

二分查找法：

1. 二段性分析：
   • 山脉数组分为递增段（arr[i] > arr[i-1]）和递减段（arr[i] < arr[i-1]）。
   • 对于任意 mid，若 arr[mid] > arr[mid-1]，说明峰值在右侧；否则在左侧。
2. 实现步骤：
   • 初始化 left = 1, right = arr.size() - 1。
   • 计算 mid（向上取整，防止死循环）。
   • 根据 arr[mid] 与 arr[mid-1] 的关系调整左右边界。
   • 最终 left == right，返回峰值索引。
3. 核心思想：通过局部条件将搜索范围一分为二，逐步逼近目标。

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5. 边界条件与注意事项

1. 数组长度：题目保证 arr.length ≥ 3，无需处理边界。
2. 峰值位置：
   • 峰值不可能在首尾（arr[0] 和 arr[-1] 无法同时满足递增和递减）。
3. 死循环避免：mid 必须向上取整（例如 left=1, right=2 时，mid=2）。

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6. 代码实现

class Solution 
{
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
    {
        int left = 1, right = arr.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1 ) / 2;
            if(arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return left;
    }
};

7.暴力枚举法与二分查找法对比图表

对比维度	暴力枚举法	二分查找法
核心思想	遍历数组，找到第一个 arr[i] > arr[i+1] 的索引。	利用二段性，每次将搜索范围缩小一半。
时间复杂度	O(n)（遍历所有元素）。	O(log n)（每次缩小一半范围）。
空间复杂度	O(1)（无需额外存储）。	O(1)（仅需常数变量记录指针）。
实现方式	单层循环逐个比较相邻元素。	动态调整左右指针，通过条件判断缩小范围。
适用场景	小规模数据（n ≤ 1e3）。	大规模数据（n ≥ 1e6）。
优点	实现简单，无需数学分析。	时间复杂度极低，适合处理大规模数据。
缺点	数据规模大时性能极差（例如 n=1e5 时需 1e5 次操作）。	需理解二段性，实现逻辑较复杂。

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8.关键点总结

1. 二段性：
   • 数组分为递增段和递减段，任意位置 mid 可通过 arr[mid] > arr[mid-1] 判断峰值方向。
   • 即使数组不全局有序，只要存在明确的二段性，即可应用二分查找。
2. 中间值取整：
   • 使用 mid = left + (right - left + 1) / 2（向上取整），避免死循环。
3. 边界收缩逻辑：
   • 若 arr[mid] > arr[mid-1]，峰值在右侧（含 mid）；否则在左侧（不含 mid）。