【动态规划】--- 路径问题
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🏠 不同路径
📌 题目解析
62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
解法一
（1）状态表示：
dp[i][j]表示走到[i,j]位置，一共有多少种方式。
（2）状态转移方程：
我们从最近的一步分析问题，由于机器人每次只能向下或向右走，因此走【i,j】位置，只能从【i-1，j】或【i,j-1】位置过去，此时问题转化为走到(i-1,j)或(i，j-1)位置一共有多少种方式，这刚好就是我们的状态表示，由于求的是一共多少种，只需进行相加即可，即：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
（3）初始化
由于状态转移方程使用了上一行和上一列的状态，此时对于0下标可能导致越界，我们可以采用虚拟节点的方法来使状态转移的合法性，但需要注意两个问题：
- 虚拟节点里面的值，要保证后面填表的结果是正确的
- 下标的正确映射。（访问原数组元素时下标-1）
（4）填表顺序
由状态转移方程得，我们的状态填写依赖上一行和上一列的状态，因此我们填表顺序是从上往下填写，每一行从左往右填写。
（5）返回值
我们的状态表示为走到某位置一共有多少种方式，由题目要求得，我们需要求的是到达右下角，即dp[m][n]，注意由于添加了虚拟节点，所以我们需要在原来下标基础上加1
参考代码：
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n)
{
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
//初始化
dp[0][1] = 1;
//填表
for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
return dp[m][n];
}
};解法二
(1) 状态表示
dp[i][j] 表示从(i,j)位置到达终点一共有多少种方式
(2) 状态转移方程
同样的，我们从最近一步位置分析：当我们走到（i，j）位置此时只能往下走或向右走，此时问题转化为从(i+1,j)或(i,j+1)位置到达终点一共有多少种方式。
即：dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1]
(3) 初始化
我们同样采用虚拟节点，也要注意两个问题：
（4）填表顺序
由状态转移方程得，我们的状态填写依赖下一行和下一列的状态，因此我们填表顺序是从下往上填写，每一行从右往左填写。
(5) 返回值
我们状态表示为从(i,j)位置出发到达右下角一共有多少方式,我们题目要求的是从(0,0)到右下角,此时应该返回(0,0)
参考代码:
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n)
{
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
//初始化
dp[m-1][n] = 1;
//填表
for(int i = m-1 ; i >=0 ; i--)
for(int j = n-1 ; j >=0; j--)
dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1];
return dp[0][0];
}
};🏠 不同路径II
📌 题目解析
63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
(1) 状态表示
dp[i][j]表示到达(i,j)位置的时候,一共有多少种方法
(2) 状态转移方程
从最近一步分析,由于机器人只能享下或向右移动,所以我们只能从(i-1,j)或(i,j-1)位置移动到(i,j)
1. 如果(i,j)位置本身有障碍物,是没有方法能到达该位置的,此时dp[i][j] = 0。
2. 如果(i,j)位置本身没障碍物，要么从左边来，要么从上边来，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
(3) 初始化
初始化我们添加虚拟节点，仍然需要注意两个问题：
1. 保证后面填表是正确的。
2. 下标的映射关系。
（4）填表顺序
由状态转移方程得，我们的状态填写依赖上一行和上一列的状态，因此我们填表顺序是从上往下填写，每一行从左往右填写。
（5）返回值
我们的状态表示为走到某位置一共有多少种方式，由题目要求得，我们需要求的是dp[m][n]
参考代码：
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid)
{
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
dp[0][1] = 1;
for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
for(int j = 1 ; j<= n ; j++)
{
if(obstacleGrid[i-1][j-1] == 1) dp[i][j] = 0;
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
return dp[m][n];
}
};🏠 礼物的最大价值
📌 题目解析
LCR 166. 珠宝的最高价值 - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
（1）状态表示
dp[i][j]：到达(i，j)位置时，此时的最大价值。
（2）状态转移方程
由题目知，每次移动时，只能向右或向下移动，因此到达(i,j)位置，我们需要先知道到达它左边或上方位置时所需要的最大价值(就是我们的状态表示)，选其中最大的再加上自身位置珠宝的价值。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + g[i][j] ；
（3）初始化
我们填充虚拟节点只需都初始化为0即可。
（4）填表顺序
由状态转移方程得，我们的状态填写依赖上一行和上一列的状态，因此我们填表顺序是从上往下填写，每一行从左往右填写。
（5）返回值
我们的状态表示为走到某位置一共有多少种方式，由题目要求得，我们需要求的是到达右下角，即dp[m][n]
参考代码：
class Solution
{
public:
int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame)
{
int m = frame.size();
int n = frame[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
for(int i = 1 ; i <= m ;i++)
for(int j=1; j<=n;j++)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j]+frame[i-1][j-1],dp[i][j-1]+frame[i-1][j-1]);
return dp[m][n];
}
};🏠 下降路径最小和
📌 题目解析
931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
（1）状态表示
dp[i][j]表示到达(i，j)位置时的最小下降路径和。
（2）状态转移方程
由本题得知，要想到达(i,j)位置，可以从3个方向到达，即左上角，正上方，右上角，此时我们需要选出它们当中下降路径和最小的，再加上该位置本身的元素即可。
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + martix[i-1][j-1]
（3）初始化
我们采用虚拟节点，注意本题需要访问原数组的元素，这意味着我们使用虚拟节点之后，访问原数组元素需要下标在原来基础上-1:
(4) 填表顺序
由状态转移得知,我们依赖的状态都是上一行的状态,所以我们填表时只需要确保从上往下即可
(5) 返回值
由题目可知,当到达最后一行时,路径遍历结束,因此要求最小下降路径和,我们只需返回dp表中最后一行的最小值即可。
参考代码：
class Solution {
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix)
{
int m = matrix.size();
int n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 2, 101*n));
//第一行填0
for (int i = 0; i < n + 2; i++)
{
dp[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
int Min = 0;
//dp[i-1][j-1] dp[i-1][j] dp[i-1][j+1]
Min = dp[i - 1][j - 1];
for (int n = j - 1; n <= j + 1; n++)
{
Min = min(Min, dp[i-1][n]);
}
dp[i][j] = Min + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
//看最后一行
int Min = dp[m][1];
for (int j = 2; j <= n; j++)
{
Min = min(Min, dp[m][j]);
}
return Min;
}
};🏠 最小路径和
📌 题目解析
64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
（1）状态表示
dp[i][j] : 到达(i,j)位置时，所能获得的最小路径和
（2）状态转移方程
同样的我们从最近一步划分问题，我们每次移动只能向下或向右移动，因此到达(i，j)位置只能从左边或上方来，所以我们需要知道到达(i-1,j)和(i,j-1)位置的最小路径和，再加上自身位置的元素。
dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + g[i][j]
(3) 初始化
（4）填表顺序
由状态转移方程得知，我们依赖的是上一行和上一列的数据，因此我们需要从上往下，从左往右
（5）返回值
我们最后要求到达右下角的最小路径和，返回dp[m][n]
参考代码：
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
{
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,201*(m*n)));
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
for(int j = 1; j<= n;j++)
dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
return dp[m][n];
}
};🏠 地下城游戏
📌 题目解析
174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）
📌 算法原理
（1）状态表示
按照我们之前的经验结合题目要求，我们可能会将状态设置为从起点出发，到达(i,j)位置所需的最低初始健康点数。但是该状态是行不通的，因为你这个状态是需要基于上方和左方的状态推导除了，你虽然满足了上方和左方到达该位置，但是你后续前进的时候可能game over，这里的最低初始健康点数指的是保底你能通关拯救公主的最低点数！
既然正着不行我们反着来，定义dp[i][j]为从(i,j)位置出发，到达终点所需的最低初始健康点数。
（2）状态转移方程
从最近一步出发，我们要么向下走，要么向右走,求(i,j)位置状态需要知道(i+1,j)和(i,j+1)两个位置状态的最小值，再减去自身，如果自身位置是负数的话，我们的初始点数需要能抵消这个点数，是正数的话，那我们的初始点数还能再低点。
因此，dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - g[i][j]。但是注意一个特殊情况，如果遇到你位置是一个很大的血包的话(即g[i][j]是个很大的正数)，你可能会被减成负数，这不符合实际，你即使有大血包，但是你需要先到达这个位置，也就是到达该位置时最少点数为1
因此我们需要处理这种特殊情况：dp[i][j] = max(1,dp[i][j])
（3）初始化
由于虚拟结点是扩充在最后一列和最后一行,此时不需要担心访问原数组时的下标映射问题.
(4) 填表顺序
由状态转移方程得知,我们依赖(i+1,j)和(i,j+1)位置的状态,因此我们应该从下往上每一行,从右往左
(5) 返回值
根据我们定义的状态表示,我们最终返回dp[0][0]即可
参考代码:
class Solution {
public:
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon)
{
int m = dungeon.size();
int n = dungeon[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
dp[m-1][n] = dp[m][n-1] = 1;
for(int i = m-1 ; i>= 0 ;i--)
for(int j = n-1 ; j>= 0 ;j--)
{
dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];
dp[i][j] = max(1,dp[i][j]);
}
return dp[0][0];
}
};总结：
1. 对于路径问题定义状态,我们一般是选取某一个位置分析,可以是从该位置出发,也可以是从该位置为结尾,如果一种问题不行,我们要尝试改变状态
2. 对于虚拟结点的设置,我们需要考虑后续填表正确以及是否影响下标映射的问题