考研数学二：函数、极限与连续知识架构与易错点全解析
一、函数模块易错点与考题预测
易错点1：忽略函数定义域的隐含条件
例题：设函数 ( f(x) = \sqrt{\ln(1-x)} + \frac{1}{\sqrt{x+2}} )，求定义域。
解析：需同时满足：
1.
1
−
x
>
0
⇒
x
<
1
2.
ln
(
1
−
x
)
≥
0
⇒
1
−
x
≥
1
⇒
x
≤
0
3.
x
+
2
>
0
⇒
x
>
−
2
\begin{aligned} 1.&\quad 1-x > 0 \Rightarrow x < 1 \\ 2.&\quad \ln(1-x) \geq 0 \Rightarrow 1-x \geq 1 \Rightarrow x \leq 0 \\ 3.&\quad x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \end{aligned}
1.2.3.1−x>0⇒x<1ln(1−x)≥0⇒1−x≥1⇒x≤0x+2>0⇒x>−2
正解：定义域为 ( (-2, 0] )。
易错点2：奇偶性判断中的符号错误
例题：判断 ( f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) ) 的奇偶性。
解析：
f
(
−
x
)
=
ln
(
1
−
x
1
+
x
)
=
ln
(
(
1
+
x
1
−
x
)
−
1
)
=
−
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \ln\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -f(x)
f(−x)=ln(1+x1−x)=ln((1−x1+x)−1)=−ln(1−x1+x)=−f(x)
结论：奇函数。
二、极限模块易错点与考题预测
易错点3：等价无穷小替换错误
例题（2011年真题）：当 ( x \to 0 ) 时，( 3\sin x - \sin3x ) 与 ( c x^k ) 等价，求 ( c, k )。
解析：
3
sin
x
−
sin
3
x
≈
3
(
x
−
x
3
6
)
−
(
3
x
−
(
3
x
)
3
6
)
=
3
x
−
x
3
2
−
3
x
+
27
x
3
6
=
4
x
3
\begin{aligned} 3\sin x - \sin3x &\approx 3\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(3x - \frac{(3x)^3}{6}\right) \\ &= 3x - \frac{x^3}{2} - 3x + \frac{27x^3}{6} \\ &= 4x^3 \end{aligned}
3sinx−sin3x≈3(x−6x3)−(3x−6(3x)3)=3x−2x3−3x+627x3=4x3
答案：( k=3, c=4 )。
易错点4：泰勒展开精度不足
例题：求 ( \lim_{x \to 0} \frac{e^x \sin x - x(1+x)}{x^3} )。
解析：
e
x
sin
x
=
(
1
+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
+
o
(
x
3
)
)
(
x
−
x
3
6
+
o
(
x
3
)
)
=
x
+
x
2
+
x
3
3
+
o
(
x
3
)
\begin{aligned} e^x \sin x &= \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) \\ &= x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \end{aligned}
exsinx=(1+x+2x2+6x3+o(x3))(x−6x3+o(x3))=x+x2+3x3+o(x3)
代入得：
lim
x
→
0
(
x
+
x
2
+
x
3
3
)
−
x
(
1
+
x
)
x
3
=
1
3
\lim_{x \to 0} \frac{\left(x + x^2 + \frac{x^3}{3}\right) - x(1+x)}{x^3} = \frac{1}{3}
x→0limx3(x+x2+3x3)−x(1+x)=31
三、连续模块易错点与考题预测
易错点5：间断点分类混淆
例题（2005年真题）：分析 ( f(x) = \frac{e{1/x}}{1+e{1/x}} ) 的间断点类型。
解析：
lim
x
→
0
+
e
1
/
x
1
+
e
1
/
x
=
1
,
lim
x
→
0
−
e
1
/
x
1
+
e
1
/
x
=
0
\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}} = 0
x→0+lim1+e1/xe1/x=1,x→0−lim1+e1/xe1/x=0
结论：( x=0 ) 为跳跃间断点。
易错点6：连续性与参数求解
例题：设 ( f(x) = \begin{cases}
\frac{\ln(1+ax)}{x} & x \neq 0 \
b & x=0
\end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处连续，求 ( a, b )。
解析：
lim
x
→
0
ln
(
1
+
a
x
)
x
=
lim
x
→
0
a
x
−
(
a
x
)
2
2
+
o
(
x
2
)
x
=
a
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ax - \frac{(ax)^2}{2} + o(x^2)}{x} = a
x→0limxln(1+ax)=x→0limxax−2(ax)2+o(x2)=a
结论：( b = a )。
四、预测考题与解析
预测题1（极限存在性）
题目：证明数列 ( x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} ) 收敛，并求极限。
解析：
x
n
=
∑
k
=
1
n
(
1
k
−
1
k
+
1
)
=
1
−
1
n
+
1
⇒
lim
n
→
∞
x
n
=
1
x_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} x_n = 1
xn=k=1∑n(k1−k+11)=1−n+11⇒n→∞limxn=1
预测题2（连续性综合）
题目：设 ( f(x) = \begin{cases}
\frac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx}}{x} & x \neq 0 \
c & x=0
\end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处连续，求 ( a, b, c )。
解析：
lim
x
→
0
1
+
a
x
−
1
+
b
x
x
=
lim
x
→
0
(
1
+
a
x
2
−
a
2
x
2
8
)
−
(
1
+
b
x
2
−
b
2
x
2
8
)
x
=
a
−
b
2
\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx}}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{(1+\frac{ax}{2} - \frac{a^2x^2}{8}) - (1+\frac{bx}{2} - \frac{b^2x^2}{8})}{x} \\ &= \frac{a - b}{2} \end{aligned}
x→0limx1+ax−1+bx=x→0limx(1+2ax−8a2x2)−(1+2bx−8b2x2)=2a−b
结论：( c = \frac{a - b}{2} )。