P11229 [CSP-J 2024] 小木棍

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前言

我们班很多人这道题都爆了，原因是写分讨写挂了。不像睿智的我，直接暴力加上一点点思维。

解题思路

step 1

首先我们把每个数的贡献都列出来。

设 $g(x)$ 为拼成 $x$ 需要的木棍数量。

第一行表示数 $x_i$，第二行表示 $g(x_i)$。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	2	5	5	4	5	6	3	7	6

然后按照贡献分类。

由于表格不好列，就不列表格了。

每一行开头的数字代表 $f$，后面的是满足 $g(x_{ij})=f$ 的所有 $x_{ij}$。

$2:1$。

$3:7$。

$4:4$。

$5:2,3,5$。

$6:0,6,9$。

$7:8$。

我们可以观察到一些数字是没有用的，比如数字 $3,5$ 永远不是最优的，因为 $2<3<5$，且 $g(2)=g(3)=g(5)$，那么 $2$ 肯定是这三个数中最优的。

于是我们就可以精简成：

$2:1$。

$3:7$。

$4:4$。

$5:2$。

$6:0,6$。

$7:8$。

需要注意的是 $6$ 并不能直接删去，因为题目要求没有前导 $0$。比如 $n=13$，答案应为是 $68$ 而不是 $08$ 或 $80$。

step 2

这时，我们再来考虑如何使答案尽可能小。

首先我们要满足答案尽可能小，这意味着答案的位数要尽可能小。比如 $1<10$。所以然后我们发现 $g(8)$ 是最大的，所以大多数情况下，答案肯定包含一堆 $8$。

为什么说是大多数情况下呢，比如 $n\le 12$ 时，只有当 $n=8$ 或 $9$ 或 $12$ 的时候答案才包含 $8$。

step 3

然后我们继续考虑如何使答案尽可能小。

这次我们考虑的是如何使答案在位数一样的情况下选出最小值。

很明显 $8$ 一定只能跟在答案的最后面。

显然，会出现一些特殊情况导致 $x$ 个较小的数比 $x-a$ 个较小的数再加上 $a$ 个 $8$ 更优。于是我们只需要写一个暴力程序找找关系，发现对于任意答案只有至多前 $3$ 位不为 $8$，所以我们可以暴力枚举前 $3$ 位怎么组合最优。

需要注意的是由于不能有前导零，所以我们需要特殊处理，具体实现请看代码。

注意

题目要求拼出一个正整数，所以答案不能为 $0$。

---

谔谔，由于是考场上写的，为了保险，我枚举的是前 $5$ 位。而且建议不要使用 to_string()，因为本人亲测会超时。

CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k[100], b[100010];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	k[0] = k[6] = k[9] = 6, k[1] = 2, k[2] = k[3] = k[5] = 5, k[4] = 4, k[8] = 7;
	while (t--) {
		int id2 = 0;
		int n;
		cin >> n;
		if (n == 1) {
			cout << "-1" << endl;
		} else if (n == 2) {
			cout << "1" << endl;
		} else if (n == 3) {
			cout << "7" << endl;
		} else if (n == 4) {
			cout << "4" << endl;
		} else if (n == 5) {
			cout << "2" << endl;
		} else if (n == 6) {
			cout << "6" << endl;
		} else if (n == 7) {
			cout << "8" << endl;
		} else if (n % 7 == 0) {
			for (int i = 1; i <= n / 7; i++) {
				cout << 8;
			}
			cout << endl;
		} else {
			while (n - 7 > 28) {
				b[++id2] = 8;
				n -= 7;
			}
			string a = "9999999999999999999";
			for (int i = -1; i <= 9; i++) {
				for (int j = -1; j <= 9; j++) {
					for (int o = -1; o <= 9; o++) {
						for (int l = -1; l <= 9; l++) {
							for (int m = -1; m <= 9; m++) {                //从 -1 开始是因为位数前面位数不一定为 5，也就是说其实是至多 5 位。
								string b = "";
								int sum = 0;
								if (i != -1) {
									b += i + '0';
									sum += k[i];
								}
								if (j != -1) {
									b += j + '0';
									sum += k[j];
								}
								if (o != -1) {
									b += o + '0';
									sum += k[o];
								}
								if (l != -1) {
									b += l + '0';
									sum += k[l];
								}
								if (m != -1) {
									b += m + '0';
									sum += k[m];
								}
								if (sum == n && b.size() > 0 && b[0] != '0') {
									if (a.size() > b.size())
										a = b;
									else if (a.size() == b.size()) {
										a = min(a, b);
									}
								}
							}
						}
					}
				}
			}
			for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
				b[++id2] = a[i] - '0';
			}
			sort(b + 1, b + 1 + id2);
			int kk = 0;
			for (int i = 1; i <= id2; i++) {  //找到第一个不为 0 的数，然后将其放到第一个位置输出。
				if (b[i] != 0) {
					kk = i;
					cout << b[i];
					break;
				}
			}
			for (int i = 1; i <= id2; i++) {
				if (i != kk) {
					cout << b[i];
				}
			}
			cout << endl;
		}
	}
	return 0;
}