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【数据结构与算法】Java描述：第四节：二叉树

news 来源：原创 2025/5/2 0:07:04

一、树的相关概念

编程中的树是模仿大自然中的树设计的，呈现倒立的结构，我们着重掌握二叉树。

1.1 基本概念：

结点的度：一个结点有几个子结点，度就是几；如上图：A的度为3

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值 称为 树的度；如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶子结点；如上图：J F K L H I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

1.2 树的表现形式：

树有多种表现方式，如双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法，下图为孩子兄弟表示法

我们在操作一棵树时，主要操作的结点，对每一个树的结点进行操作，所以我的 Tree 类中会定义结点类 Tree Node

class Node {    
        int value;              // 树中存储的数据    
        Node ﬁrstChild;        // 第一个孩子引用    
        Node nextBrother;       // 下一个兄弟引用
}

二、二叉树

2.1 二叉树的概念

二叉树是树的一种，它的特点是每个结点的度最大为2，并且两边分别称为 左子树，右子树

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树：所有结点都是满的，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：从左往右,从上往下，完全二叉树是一棵深度最小的二叉树，其除了最后一层可能不是满的，其他每一层都必须是满的，并且节点从左到右依次排列。

2.3 相关性质：

1. 根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点。

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^{k}-1$ (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $log(^{n+1})$ 上取整

5. 完全二叉树通常使用数组来表示，因为它的特性能够通过数组的索引来快速定位每个节点的位置。在数组中，根节点位于索引0，如果一个节点的索引为i，那么它的左子节点索引为2i+1，右子节点索引为2i+2。

6.给定结点数，求叶子结点数：

2.4 二叉树的基本操作：

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;

public abstract class BinaryTree {
    public class TreeNode{
       public int val;
       public TreeNode left;
       public TreeNode right;

        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }
    // 获取树中节点的个数
   public int size(TreeNode root){
       if(root==null){
           return 0;
       }
        return size(root.left)+ size(root.right) + 1;
   }
   // 获取叶子节点的个数
   public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
       if(root==null){
           return 0;
       }
       if(root.left==null&&root.right==null){
           return 1;
       }
       return getLeafNodeCount(root.left)
               +getLeafNodeCount(root.right);
    }

    // 子问题思路-求叶子结点个数

    // 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root!=null && k==1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }


    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);

        return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
    }

    // 检测值为value的元素是否存在
    public TreeNode find(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val == val) {
            return root;
        } else {

            if (root.left != null) {
                find(root.left, val);
                return root.left;
            }
            if (root.right != null) {
                find(root.right, val);
                return root.right;
            }
            return null;
        }
    }
    //层序遍历
    public void levelOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");

            if(cur.left!=null){
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right!=null){
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

    public List<List<Integer>> levelOrder2(TreeNode root) {
        List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
        if(root==null){ //记得判空
            return ret;
        }
        Queue <TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while(!queue.isEmpty()){//用方法不是null

            int size = queue.size();//size不是length
            List<Integer> retsamll  =  new ArrayList<>();

            while(size!=0){
                TreeNode cur = queue.poll();//在循环内，每次cur都是队列出去的元素
                retsamll.add(cur.val);//在循环内，把一行的元素都添加完

                if(cur.left!=null){
                    queue.offer(cur.left);
                }
                if(cur.right!=null){
                    queue.offer(cur.right);
                }
                size--;//记得把size最终变成小于零的，这样就进行下一列了
            }
            ret.add(retsamll);
        }
        return ret;
    }

    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root){

        return false;
    }
}

方法未完待续........

二叉树的层序遍历

判断是否是完全二叉树