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神聖的綫性代數速成例題4. 矩陣乘法的充要條件、矩陣運算的定義

news 来源：原创 2025/5/10 19:17:02

矩陣乘法的充要條件：設 $A=(a_{ij})$ 是 $m\times s$ 矩陣， $B=(b_{ij})$ 是 $s\times n$ 矩陣，則 $A$ 與 $B$ 可相乘，乘積 $AB$ 是一個 $m\times n$ 矩陣。即矩陣 $A$ 的列數等於矩陣 $B$ 的行數是矩陣乘法可行的充要條件。
矩陣運算的定義：

加法：若 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$ 都是 $m\times n$ 矩陣，則 $A + B=(a_{ij}+b_{ij})$ ，也是 $m\times n$ 矩陣。
數乘：若 $k$ 是一個數， $A=(a_{ij})$ 是 $m\times n$ 矩陣，則 $kA=(ka_{ij}$ ，仍是 $m\times n$ 矩陣。

例題解析：

1.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ ，判斷 $AB$ 是否可計算，若可計算求其結果。

解： $A$ 是 $2\times2$ 矩陣， $B$ 是 $2\times2$ 矩陣， $A$ 的列數等於 $B$ 的行數，所以 $AB$ 可計算。

$AB=\begin{pmatrix}1\times5 + 2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5 + 4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 + 14&6 + 16\\15 + 28&18 + 32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$ 。

2.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}$ ，判斷 $AB$ 和 $BA$ 是否可計算，若可計算求其結果。解： $A$ 是 $2\times3$ 矩陣， $B$ 是 $3\times2$ 矩陣， $A$ 的列數等於 $B$ 的行數，所以 $AB$ 可計算。

$AB=\begin{pmatrix}1\times7+2\times9 + 3\times11&1\times8+2\times10+3\times12\\4\times7+5\times9 + 6\times11&4\times8+5\times10+6\times12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 + 18+33&8 + 20+36\\28 + 45+66&32 + 50+72\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}$ 。

而 $B$ 的列數等於 $A$ 的行數，所以 $BA$ 也可計算。

$BA=\begin{pmatrix}7\times1+8\times4&7\times2+8\times5&7\times3+8\times6\\9\times1+10\times4&9\times2+10\times5&9\times3+10\times6\\11\times1+12\times4&11\times2+12\times5&11\times3+12\times6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 + 32&14 + 40&21+48\\9 + 40&18 + 50&27+60\\11 + 48&22 + 60&33+72\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}39&54&69\\49&68&87\\59&82&105\end{pmatrix}$ 。

3.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6&7\\8&9&10\end{pmatrix}$ ，判斷 $AB$ 是否可計算。

解： $A$ 是 $2\times2$ 矩陣， $B$ 是 $2\times3$ 矩陣， $A$ 的列數 $2$ 等於 $B$ 的行數 $2$ ，所以 $AB$ 可以计算，其结果为一个 $2\times3$ 的矩阵。

计算过程为：设 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}$ ，则 $AB=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}&a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}&a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}$ 。

4.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$ ，求 $A + B$ 。

解： $A + B=\begin{pmatrix}1+5&2 + 6\\3+7&4 + 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$ 。

5.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ ， $k = 3$ ，求 $kA$ 。

解： $kA = 3\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times1&3\times2&3\times3\\3\times4&3\times5&3\times6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6&9\\12&15&18\end{pmatrix}$ 。

6.已知 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}$ ， $C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}$ ，證明 $(A + B)+C = A+(B + C)$ 。

解：左邊

$(A + B)+C=\left(\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(a_{11}+b_{11})+c_{11}&(a_{12}+b_{12})+c_{12}\\(a_{21}+b_{21})+c_{21}&(a_{22}+b_{22})+c_{22}\end{pmatrix}$ 。

右邊 $A+(B + C)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12}\\b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}+(b_{11}+c_{11})&a_{12}+(b_{12}+c_{12})\\a_{21}+(b_{21}+c_{21})&a_{22}+(b_{22}+c_{22})\end{pmatrix}$ 。

由加法結合律， $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})$ ，所以 $(A + B)+C = A+(B + C)$ 。

7.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} - 1& - 2\\ - 3& - 4\end{pmatrix}$ ，求 $A + B$ 。

解： $A + B=\begin{pmatrix}1+( - 1)&2+( - 2)\\3+( - 3)&4+( - 4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ 。

8.已知 $A=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$ ， $k=-1$ ，求 $kA$ 。

解： $kA=-1\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\times2&-1\times4\\-1\times6&-1\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-4\\-6&-8\end{pmatrix}$ 。