编程题-第k个语法符号

题目：

我们构建了一个包含 n 行( 索引从 1  开始 )的表。首先在第一行我们写上一个 0。接下来的每一行，将前一行中的0替换为01，1替换为10。

• 例如，对于 n = 3 ，第 1 行是 0 ，第 2 行是 01 ，第3行是 0110 。

给定行数 n 和序数 k，返回第 n 行中第 k 个字符。（ k 从索引 1 开始）

解法一（递归）：

首先题目给出一个n行的表（索引从1开始）。并给出表的构造规则为：第一行仅有一个0，然后接下来的每一行可以由上一行中0替换为01，1替换为10来生成。比如当 n=3 时，第 1 行是 0，第 2 行是 01，第 3 行是 0110。

现在要求表第n行中第k个数字，。首先我们可以看到第i行中会有个数字，，且其中第j个数字按照构造规则会生第i+1行中的第2*j-1和2*j个数字，。即对于第i+1行中的第x个数字nums1，，会被第i行中第个数字nums生成。且满足如下规则：

并且进一步总结我们可以得到：，其中为“与”运算符，为“异或”运算符。那么我们从第n不断往上递归求解，并且当在第一行时只有一个数字，直接返回0即可。其中表示当为奇数时为1，偶数时为0；表示取反，如果为0，结果为1，如果为1，则得到结果为0。如下为实现代码：

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int n, int k) {
        if (n == 1) {
            return 0;
        }
        return (k & 1) ^ 1 ^ kthGrammar(n - 1, (k + 1) / 2);
    }
};

时间复杂度：O(n)，其中 n 为题目给定表的行数，递归深度为 n。空间复杂度：O(n)，其中 n 为题目给定表的行数，主要为递归的空间开销。

解法二（找规律+递归）：

按照方法一，我们可以尝试写表中的前几行：

    0
    01
    0110
    01101001
    ⋯

我们可以注意到规律：每一行的后半部分正好为前半部分的“翻转”——前半部分是 0 后半部分变为 1，前半部分是 1，后半部分变为 0。且每一行的前半部分和上一行相同。我们可以通过「数学归纳法」来进行证明。

有了这个性质，那么我们再次思考原问题：对于查询某一个行第 k 个数字，如果 k 在后半部分，那么原问题就可以转化为求解该行前半部分的对应位置的“翻转”数字，又因为该行前半部分与上一行相同，所以又转化为上一行对应对应的“翻转”数字。那么按照这样一直递归下去，并在第一行时返回数字 0 即可。如下为实现代码：

class Solution {
public:
    int kthGrammar(int n, int k) {
        if (k == 1) {
            return 0;
        }
        if (k > (1 << (n - 2))) {
            return 1 ^ kthGrammar(n - 1, k - (1 << (n - 2)));
        }
        return kthGrammar(n - 1, k);
    }
};

时间复杂度：O(n)，其中 n 为题目给定表的行数。空间复杂度：O(n)，其中 n 为题目给定表的行数，主要为递归的空间开销。

笔者小记：

1、“与&”运算性质：表示当为奇数时为1，偶数时为0。

2、“异或^”运算性质：表示取反，如果为0，结果为1，如果为1，则得到结果为0。

3、递归函数实现考虑的要素：实现递归函数编写首先要考虑【终止条件】,用于停止递归并返回结果，每次递归调用时，问题应该逐步缩小，并且向终止条件靠近。即每次递归时要确保递归的函数在某种程度上变得更小或更简单（通常是通过减少问题规模最终达到递归的终止条件）。当递归调用返回时，我们通常需要将递归函数的返回值传回去，并将其用于最终的计算结果。在递归过程中，通常要在每层递归返回之前进行某种合并操作。