人工智能之数学基础：保持几何结构不变的线性变换——正交变换

本文重点

正交变换是数学与工程领域中一种重要的变换方式，尤其在线性代数和几何学中占据核心地位。它不仅具有独特的数学性质，而且在图像处理、信号处理、计算机图形学等多个领域具有广泛的应用

正交变换的定义

正交变换（Orthogonal Transformation）是指一种线性变换，它使用正交矩阵表示，并满足以下两个关键特性：

保持长度不变：变换后的向量的长度与变换前相同。这一性质源于正交矩阵的定义，即正交矩阵的转置等于其逆矩阵，从而保证了向量的模（长度）在变换过程中不会发生变化。

保持角度不变：变换后的向量之间的角度与变换前相同。这一性质使得正交变换在几何变换中尤为重要，因为它能够保持空间中各点间的相对位置关系不变，包括夹角。

正交变换的性质

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

如果一个线性变换是正交变换，那么它会有如下的性质：

正交变换T可以保持向量的长度不变

正交变换T将原始空间的标准正交基变为标准正交基，也就是标准线性变换之后还是标准

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