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数学复习（8）连续性

news 来源：原创 2025/5/18 0:35:08

简介

简单的概括，在一般数学书里，连续性和可导性都会放在一起。这两者其实是描述函数图像的两种平滑程度特征的数学表述。连续性是指连续函数图像可以一笔画成，而可导性是指可导函数图像有没有尖角。但是我自己总是忽略掉函数连续性的重要性，所以把这两部分分开了。这篇博客专门记录连续性

函数在某一点连续

定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$ ，那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

理解

从直观上看，这意味着当x无限趋近于 $x_0$ 时， $f(x)$ 的值无限趋近于 $f(x_0)$ ，函数图像在 $x_0$ 这一点没有间断，是“连着”的。用极限来描述就是函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。

示例

对于函数 $f(x)=x^2$ ，在任意一点 $x_0$ 处， $\lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$ ，即 $f(x)$ 在任意一点处的极限值都等于该点的函数值，所以 $f(x)=x^2$ 在其定义域内的每一点都连续。

判断方法

-要判断函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处是否连续，通常需要分别考虑以下三个条件是否满足：

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处有定义，即 $x_0$ 在函数 $f(x)$ 的定义域内， $f(x_0)$ 存在。

- $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，也就是当x从左右两侧趋近于 $x_0$ 时，函数f(x)的极限值存在且相等。

- $\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$ ，这是函数在某点连续的核心条件，只有同时满足以上三个条件，才能说函数f(x)在点 $x_0$ 处连续。

例如，函数 $f(x)=\begin{cases}x + 1, & x \geq 0 \\ x - 1, & x < 0\end{cases}$ 在x = 0处， $f(0)=0 + 1 = 1$ ，

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0^+}(x + 1)=1$ ，

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^-}(x - 1)= - 1$ ，左右极限不相等，

$\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，

所以函数f(x)在x = 0处不连续。

通常的四种情况

情况1

-函数： $f(x)=\begin{cases}1, x< a \\ -1, x\geq a\end{cases}$

- 解释：

当x从左侧趋近于a时，f(x)始终为1，所以左极限 $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=1$ ；

当x从右侧趋近于a时，f(x)始终为-1，所以右极限 $\lim_{x \to a^{+}} f(x)= -1$ 。

左右极限不相等，双侧极限不存在，函数在x = a处不连续。

例如，在一个分段收费的停车场，停车时间x小于a小时收费1元，大于等于a小时收费-1元（这里假设收费可以为负只是为了举例，实际中可理解为不同的收费标准），那么在x = a这个时间点，收费标准发生突变，函数不连续。

注：

这种情况直观图就是左右函数图像不在一个象限。

情况2

-函数： $f(x)=\frac{x^{2}-a^{2}}{x - a}$ ， $x\neq a$

- 解释：对f(x)进行化简可得 $f(x)=x + a$ （ $x\neq a$ ）。

当x趋近于a时，无论是从左侧还是右侧，极限都为2a，

即 $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\lim_{x \to a^{+}} f(x)=2a$ ，双侧极限存在且有限。

但是当(x = a)时，函数f(x)的表达式 $\frac{x^{2}-a^{2}}{x - a}$ 分母为0，无定义，所以函数在x = a处不连续。

比如，在计算一个物体运动的平均速度时，若用 $f(x)=\frac{x^{2}-a^{2}}{x - a}$ 来表示在时间段 $(a, x)$ 或 $(x, a)$ 内的平均速度 $x\neq a$ ，当x无限接近a时，平均速度趋近于2a，但在x = a这一时刻，由于时间段长度为0（现实中不可能存在），无法用这个式子计算平均速度，即函数在x = a处无定义，不连续。

注：这种情况左右函数图像看上去是连在一起的，但是实际上中间缺了个定义点。

情况3

- 函数： $f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\neq a \\ 2, & x = a\end{cases}$

- 解释：当x趋近于a时，无论从左侧还是右侧，f(x)都趋近于a + 1，

即 $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\lim_{x \to a^{+}} f(x)=a + 1$ ，双侧极限存在。

函数在x = a处有定义，f(a)=2，但极限值a + 1与函数值2不相等，所以函数在x = a处不连续。

例如，在一个统计人数的场景中，当时间 $x\neq a$ 时，人数按照x + 1的规律变化，而在时间x = a这一时刻，由于某种特殊原因（如统计错误或有特殊人员加入），实际人数为2，与按照规律计算出的极限值不同，导致函数在x = a处不连续。

注：这种情况左右函数图像看上去是一起的，但是实际上有一个点飞出去十万八千里。

情况4

- **函数**： $f(x)=x^{2}$ ，对于任意实数a

- **解释**：对于函数 $f(x)=x^{2}$ ， $\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\lim_{x \to a^{+}} f(x)=a^{2}$ ，双侧极限存在。 $f(a)=a^{2}$ ，极限值和函数值相等，所以函数在x = a处连续。例如，在计算一个边长为x的正方形面积时，面积 $f(x)=x^{2}$ ，当边长x趋近于a时，面积的极限值就是边长为a时正方形的面积 $a^{2}$ ，函数在任意点x = a处都连续，符合实际中面积随边长连续变化的情况。

注：这一种才是连续没断开的图像。

函数区间的连续性

连续的定义

- 对于区间 $(a,b)$ ：

要证明函数f(x)在(a,b)内连续，需对任意 $x_0\in(a,b)$ ，证明 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$ 。即对于任意给定的正数 $\epsilon$ ，都能找到正数 $\delta$ ，使得当 $0<|x - x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ 。

- 对于区间 $[a,b]$ ：

除了证明f(x)在(a,b)内每一点都满足上述条件外，还需证明在端点a处右连续，即 $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)=f(a)$ ；在端点b处左连续，即 $\lim\limits_{x \to b^-} f(x)=f(b)$ 。

利用函数的性质

-四则运算性质：

如果函数f(x)和g(x)在区间I上连续，那么 $f(x)\pm g(x)$ ，f(x)g(x)在区间I上也连续；

若 $g(x)\neq0$ ， $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间I上也连续。

- 复合函数性质：若函数 $u = g(x)$ 在区间I上连续，函数 $y = f(u)$ 在g(x)的值域上连续，那么复合函数 $y = f(g(x))$ 在区间I上连续。

利用已知的连续函数

- 基本初等函数（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）在其定义域内都是连续的。如果所给函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，那么它在其定义域内也是连续的。

例如，证明函数 $f(x)=\sin(x^2 + 1)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续。因为 $u = x^2 + 1$ 是多项式函数，在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续， $y=\sin u$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，根据复合函数的连续性可知 $f(x)=\sin(x^2 + 1)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续。

ε-δ 定义

证明函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上连续。即，对任意点 $c \in [0, 1]$ ，满足：
对于任意给定的 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得当 $|x - c| < \delta$ 时， $|x^2 - c^2| < \epsilon$ 。

步骤详解

1. 写出连续性的 ε-δ 定义
对任意给定的 $\epsilon > 0$ ，需找到 $\delta > 0$ ，使得：
当 $|x - c| < \delta$ 时， $|x^2 - c^2| < \epsilon$ 成立

2. 分解差值 $|x^2 - c^2|$
利用因式分解：
$|x^2 - c^2| = |x - c| \cdot |x + c|$

3. 控制 $|x + c|$ 的上界
由于 $x, c \in [0, 1]$ ，其和的最大值为 $x + c \leq 1 + 1 = 2$ ，因此：

$|x + c| \leq 2 \quad$ 对区间内所有 $( x, c )$ 成立

4. 构造不等式链
将上界代入分解后的表达式：

$|x^2 - c^2| = |x - c| \cdot |x + c| \leq |x - c| \cdot 2 = 2|x - c|$

5. 解关于 |x - c| 的不等式
为了让 $|x^2 - c^2| < \epsilon$ ，只需：

$2|x - c| < \epsilon \quad \Rightarrow \quad |x - c| < \frac{\epsilon}{2}$

6. 定义 δ 的取值
由5得， $|x - c| < \frac{\epsilon}{2}$ ；由题干得 $|x^2 - c^2| < \epsilon$

取 $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ ，

由4得，

$|x^2 - c^2| \leq 2|x - c|$

则当 $|x - c| < \delta$ 时，有：

$2|x - c| < 2 \cdot \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

$|x^2 - c^2| < \epsilon$

7. 验证 δ 的普适性
- δ 与 c 无关：由于 $|x + c| \leq 2$ 对区间内所有 ( x, c ) 成立，因此 $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ 适用于 $[0, 1]$ 内任意点 c 。
- 端点处理：若 c = 0 或 c = 1，只需验证单侧极限（例如，c = 1 时只需考虑 $x \to 1^-$ ，c=0 时候只需要考虑 $x \to 0^+$ ，但 $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ 仍有效。

根据 ε-δ 定义， $f(x) = x^2$ 在点 c 处连续。
由于 c 是 [0, 1] 内任意点，故 $f(x) = x^2$ 在 [0, 1]上连续。

推广到一般情况

对任意函数 $f(x)$ ，若可表达为：
$|f(x) - f(c)| \leq M \cdot |x - c|$

其中 M 为常数，则取 $\delta = \epsilon / M$ 即可证明连续性。此方法广泛适用于多项式、指数函数等。

介值定理

定理内容

设函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且在区间端点处的函数值分别为 $f(a)=A$ 和 $f(b)=B$ ， $A\neq B$ 。那么对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一个点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=C$ 。

几何意义

连续函数 $y = f(x)$ 的图像在区间 $[a, b]$ 上是一条连续不断的曲线。当 $f(a)=A$ 和 $f(b)=B$ 时，对于 $A$ 与 $B$ 之间的任何一个值 $C$ ，水平直线 $y = C$ 必然与曲线 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少相交于一点，该交点的横坐标即为 $\xi$ ，满足 $f(\xi)=C$ 。

证明思路

假设 $A < B$ ，对于 $A < C < B$ 的情况，构造一个辅助函数 $g(x)=f(x)-C$ 。

因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $(g(x)$ 在 $[a, b]$ 上也连续。

且 $g(a)=f(a)-C=A - C < 0$ ， $g(b)=f(b)-C=B - C > 0$ 。

根据零点定理（如果函数 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $g(a)$ 与 $g(b)$ 异号，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $g(\xi)=0$ ，可知存在 $\xi\in(a, b)$ ，使得 $g(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)-C = 0$ ，所以 $f(\xi)=C$ 。