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神聖的綫性代數速成例題1. 餘子式、代數餘子式的概念、行列式的行(列)展開

news 来源：原创 2025/5/1 21:07:46

1. 餘子式定義：對於 $n$ 階行列式 $A=(a_{ij})$ ，將元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列劃去後，剩下的 $n-1$ 階行列式稱為元素 $a_{ij}$ 的餘子式，記作 $M_{ij}$ 。

2.代數餘子式定義：元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式 $A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$ 。

3.行列式的行 (列) 展開定理： $n$ 階行列式 $A=(a_{ij})$ 等於它的任意一行 (列) 的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即 $A=\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ （按第 $i$ 行展開）， $A=\sum_{i = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ （按第 $j$ 列展開）。

1.求行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 中元素 $a_{23}=6$ 的餘子式 $M_{23}$ 。

解：劃去第 $2$ 行和第 $3$ 列，得到 $M_{23}=\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}=1\times8 - 2\times7=-6$ 。

2.求上題中元素 $a_{23}=6$ 的代數餘子式 $A_{23}$ 。

解： $A_{23}=(-1)^{2 + 3}M_{23}=(-1)^{5}\times(-6)=6$ 。

3.利用行展開定理計算行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 按第 $1$ 行展開。

解： $A = 1\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}+2\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$

先算各個二階行列式： $\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5\times9 - 6\times8=-3$ ， $\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=4\times9 - 6\times7=-6$ ， $\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4\times8 - 5\times7=-3$ 。

則 $\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4\times8 - 5\times7=-3$ 。

4.利用列展開定理計算行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$ 按第 $2$ 列展開。

解： $A = 2\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+5\times(-1)^{2 + 2}\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}+8\times(-1)^{3 + 2}\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}$

計算各個二階行列式： $\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=-6$ ， $\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}=1\times9 - 3\times7=-12$ ， $\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}=1\times6 - 3\times4=-6$ 。

則 $A = 2\times6+5\times(-12)+8\times6 = 12 - 60 + 48 = 0$ 。

5.已知行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3$ ，求 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\2a_{21}&2a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$ 按第 $2$ 行展開。

解：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\2a_{21}&2a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2\times(-1)^{2 + 1}a_{21}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+2\times(-1)^{2 + 2}a_{22}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+2\times(-1)^{2 + 3}a_{23}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

由已知 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3$ ，而 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\2a_{21}&2a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2\times3 = 6$ 。