c++进阶--AVL树
休息了一周之后，我们继续来学习c++进阶的部分，今天我们要学习的内容是AVL树。
目录
1. AVL的概念
2. AVL树的实现
2.1 AVL树的结构
2.2 AVL树的插⼊
2.2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
2.2.2 平衡因⼦更新
2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
2.3.2 右单旋
2.3.3 右单旋代码实现
2.3.4 左单旋
2.3.5 左单旋代码实现
2.3.6 左右双旋
2.3.7 左右双旋代码实现
2.3.8 右左双旋
2.3.9 右左双旋代码实现
2.4 AVL树的查找
2.5 AVL树平衡检测
1. AVL的概念
1. AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。2. AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。3. AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。4. 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是05. AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 log N，那么增删查改的效率也可以控制在O(log N) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
这就是一棵AVL树，对于叶子结点来说，它的左右子树都为空，所以它的平衡因子为0，而对于其他结点来说 ，平衡因子为右子树高度减去左子树的高度。
当平衡因子为2或-2时，意为该AVL树不平衡，需要进行调整。
2. AVL树的实现
2.1 AVL树的结构
template<class K,class V>
struct AVLNode {
pair<K, V> _kv;
AVLNode<K, V>* _left;
AVLNode<K, V>* _right;
AVLNode<K, V>* _parent;
int _bf;
AVLNode(const pair<K,V>& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//.......
private:
Node * _root = nullptr;
};2.2 AVL树的插⼊
对于AVL树的插入，和普通的二叉搜索树差不多，但多出了一个调整平衡因子的步骤，同时若平衡因子为2或-2，还需要进行调整。
2.2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束。4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
2.2.2 平衡因⼦更新
更新原则：
1. 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度2. 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。3. 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--4. parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停⽌条件：
1. 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。2. 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。3. 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。4. 不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。
2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
1. 保持搜索树的规则2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。
2.3.2 右单旋
1. 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进⾏了详细描述。2. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。3. 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
这是一个抽象的整体图，a b c 分别代表高度为h的子树，我们在a的位置再插入一个结点，此时根结点的平衡因子为-2，需要进行调整，因为根结点的左子树更高，应该向右旋转。令subL为新的根节点，原来的根节点变成新的根节点的右孩子，subL的右子树变成原来根节点的左子树，旋转之后，新的根节点的平衡因子为0。
这是第一种情况，a b c 都是空树，此时在a上插入一个新节点，根节点的平衡因子为-2，向右旋转。
这是第二种情况，a b c 为单节点，在a上插入结点后，根节点平衡因子为-2，向右旋转。
这是第三种情况，a b c 为高度为2的AVL树，高度为2的AVL树有又有三种情况，对于b和c来说，这三种情况都可以，而对于a来说，只有第一种可以，因为当a为其他两种情况时，插入节点后自身就会因为平衡因子等于-2或2需要旋转。 而a为第一种情况的时候有4个位置可以插入结点，所以共有3*3*4=36种情况。
这是第四种情况，a b c 为高度为3的AVL树，高度为3的AVL树有15种情况， 对于b和c来说，这15种情况都可以，而对于a来说，为满二叉树的时候可以，第三层有三个结点的时候也可以，所以a有4种情况，对于满二叉树在插入时有8个位置可以插入，为另一种树时有4个位置可以插入，所以a有8+4*4=24种情况，所以共有15*15*24=5400种情况。
高度为更多的AVL树的情况我们就不再进行讨论了，我们可以发现它们都有共同点，就是我们一开始说的需要向右旋转，所以所有在最左子树插入的结点都满足这种规律。
2.3.3 右单旋代码实现
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if(subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* Pparent = parent->_parent;
subL->_parent = Pparent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
if (Pparent == nullptr)
{
_root = subL;
}
else{
if (Pparent->_left == parent)
{
Pparent->_left = subL;
}
else
{
Pparent->_right = subL;
}
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}我们定义根节点的左孩子为subL，subL的右孩子为subLR，则subLR就是我们在图中的b，当在最左边插入结点时，根节点的平衡因子为-2，subL的平衡因子为-1，由于b可以为空，所以需要对subLR进行判断，同时，根节点可以为AVL树的根，也可以为AVL树中的一个子树，所以还要对根节点的parent进行判断。在旋转完成后，要将根节点和subL的平衡因子进行修改，由上图可知，它们的平衡因子都为0。
2.3.4 左单旋
1. 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。2. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。3. 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
总体而言，在最右子树进行插入的时候，需要向左旋转，其余部分和右单旋相同。
2.3.5 左单旋代码实现
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
Node* Pparent = parent->_parent;
subR->_parent = Pparent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (Pparent == nullptr)
{
_root = subR;
}
else{
if (Pparent->_left == parent)
{
Pparent->_left = subR;
}
else {
Pparent->_right = subR;
}
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}此时，我们需要的是subR和subRL两个指针，subRL为图中的b。
2.3.6 左右双旋
通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
当在中间插入也就是对b进行插入的时候，进行一次旋转似乎不能解决问题，还会变成同样的结构，那么此时就需要进行两次不同方向的旋转。
此时，对于b的左右子树也需要考虑进来，由图可见，b的左右子树会被分到左右两个部分。
2.3.7 左右双旋代码实现
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}2.3.8 右左双旋
跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的
细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单
旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通
过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
2.3.9 右左双旋代码实现
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}2.4 AVL树的查找
AVL树的查找和二叉搜索树的查找相同，搜索效率为 O(logN)
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.5 AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者
// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}今天的内容就是这些，我们下次再见