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Day37–动态规划–52. 携带研究材料（卡码网），518. 零钱兑换 II，377. 组合总和 Ⅳ，57. 爬楼梯（卡码网）

本文全部都是 ” 完全背包 “ 问题，从零到入坑，从入坑到爬出来。

本文的精华在：《为什么是“先遍历背包，后遍历数字”？》非常详细地讲解了，为什么先遍历数字，后遍历背包——是组合数。先遍历背包，后遍历数字——是排列数。

52. 携带研究材料（卡码网）

思路：

1. 确定dp数组含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2. 确定递推公式：（和01背包相似，所以只讲区别）
   • 在01背包中，每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1。所以空出来之后，去上一层找，即dp[i-1][j-weight[i]]
   • 而在完全背包中，每个物品可以无限取，即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1。所以空出来之后，要从本层取，即dp[i][j-weight[i]]
   • 得出递推公式：dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
3. 初始化：初始化第一行，从背包能放得下weight[0]这个东西开始，往后遍历。能放多少是多少。
4. 确定遍历顺序，每个dp[i][j]，都要靠左边，上边的值确定数据。所以是从上往下，从左往右。

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int bagSize = in.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {weight[i] = in.nextInt();value[i] = in.nextInt();}int[][] dp = new int[n][bagSize + 1];// 初始化第一行，从背包能放得下weight[0]这个东西开始，往后遍历for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];}// 动态规划for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {// 当前背包放不下weight[i]，直接等于上一层if (j < weight[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {// 这里的递归公式，与01背包不同。要空出weight[i]的时候，看的是本层的dp// 区别在于，这里是dp[i][j - weight[i]]，而01背包是：dp[i-1][j - weight[i]]dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][bagSize]);}
}

518. 零钱兑换 II

思路：二维dp数组

1. 确定dp[i][j]含义，从0-i的coins中，任选一个或多个，装满容量为j的背包（注意是装满）
2. 确定递推公式：
   1. 注意这里求的是“最大组合数”，而不是“最大价值”，所以是加法（情况一+二）
   2. 情况一，不放coins[i]，就是dp[i-1][j]，情况二，放coins[i]，就是dp[i][j-coins[i]]
   3. 注意这里不是[i-1]了，是[i]。不是看上层的，而是看本层的，这是完全背包和01背包的关键区别
3. 初始化
   1. 初始化第一列：都有“不选”的选择，所以是1
   2. 初始化第一行：要能取模的才能赋值1，比如最小货币是2的话，当j==3，是不能装满的

// 确定dp[i][j]含义，从0-i的coins中，任选一个或多个，装满容量为j的背包
class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {// amount 是 bagSizeint n = coins.length;int[][] dp = new int[n][amount + 1];// 初始化第一列for (int i = 0; i < n; i++) {// 都有“不选”的选择，所以是1dp[i][0] = 1;}// 初始化第一行for (int j = coins[0]; j <= amount; j++) {// 特别注意，要能取模的才能赋值1，比如最小货币是2的话，当j==3，是不能装满的if (j % coins[0] == 0) {dp[0][j] = 1;}}// 动态规划for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 1; j <= amount; j++) {// 当前硬币大于背包容量，直接等于上一层if (j < coins[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {// 注意这里求的是“最大组合数”，而不是“最大价值”，所以是加法（情况一+二）// 情况一，不放coins[i]，就是dp[i-1][j]// 情况二，放coins[i]，就是dp[i][j-coins[i]]// 注意这里不是[i-1]了，是[i]。不是看上层的，而是看本层的，这是完全背包和01背包的关键区别dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]];}}}return dp[n - 1][amount];}
}

思路：一维dp数组

1. dp[i][j]含义不变
2. 递推公式：
   1. 本题 二维dp 递推公式： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]]（正上方，左方）
   2. 压缩成一维：dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]]
3. 初始化：dp[0] = 1
4. 遍历顺序
   1. 在01背包的时候，遍历j是要倒序遍历的，因为dp[j]要依靠“正上方”和“左上方”的数据。但是完全背包，它依赖的是：“正上方”和“左方”的数据。
   2. “左方”的数据由何而来？得先遍历才有，所以是for(j)是顺序遍历

附：01背包时候的二维公式和一维公式

二维： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - coins[i]]（正上方+左上方）

一维：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];

因为要依赖左上方的数据，也就是上一层的旧数据，所以只能倒序遍历。遍历右的时候能取到左的数据

// 确定dp[i][j]含义，从0-i的coins中，任选一个或多个，装满容量为j的背包
class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {// amount 是 bagSizeint n = coins.length;int[] dp = new int[amount + 1];// 初始化dp[0] = 1;// 动态规划for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
}

377. 组合总和 Ⅳ

写在前面：这个题目很有迷惑性，说是“组合”总和，但是这个“组合”又是可以有不同序列的——其实就是“排列”数，而不是求“组合”数。一定要弄清楚这个再继续。

思路：一维dp数组

1. dp[j]的定义：从[0-i]（可重复）取任意个数，填满背包j的组合（可排列！）有多少种？
2. 确定递归公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];（和上题一样，不再详细分析）
3. 初始化：dp[0] = 1;
4. 遍历顺序：先遍历背包，再遍历数字！！！先遍历背包，再遍历数字！！！先遍历背包，再遍历数字！！！

// 一维dp数组
// dp[j]的定义：从[0-i]（可重复）取任意个数，填满背包j的组合（可排列！）有多少种？
class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int n = nums.length;// bagSize 是 targetint[] dp = new int[target + 1];// 初始化dp[0] = 1;// 动态规划for (int j = 0; j <= target; j++) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (j >= nums[i]) {dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];}}// // 遍历dp检查// for(int k=0;k<=target;k++){//     System.out.print(dp[k]+" ");// }// System.out.println(" ");}return dp[target];}
}

为什么是“先遍历背包，后遍历数字”？

先说结论：

先遍历数字，后遍历背包——是组合数。

先遍历背包，后遍历数字——是排列数。

为什么会这样呢？

公式 dp[j] += dp[j - nums[i]] 的核心逻辑是：

要计算 “填满容量 j 的方式数”，可以先放入一个 nums [i]，再累加 “填满剩余容量 j-nums [i] 的方式数”。

• 当先遍历数字时，“最后一个元素” 只能是当前数字（按固定顺序），所以不会产生新顺序。
• 当先遍历背包时，“最后一个元素” 可以是任何数字（在同一容量下尝试所有数字），所以会产生不同顺序的排列。

公式本身不关心顺序，只关心 “是否加入当前数字”，而遍历顺序决定了 “加入数字的时机和范围”，最终导致结果差异。

到这里，基本上讲清楚了。可以再把518. 零钱兑换 II按照“先遍历背包，后遍历数字”的方式写一遍，答案肯定错误。

57. 爬楼梯（卡码网）

《代码随想录》：

这其实是一个完全背包问题。

1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

思路：

1. 确定dp含义：dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2. 确定递推公式：dp[j] += dp[j - i];
3. 初始化：dp[0] = 1;
4. 完全背包问题：先背包，后数字（因为要先固定背包容量，再取数字，才有不同的顺序）

要是能识别出来是完全背包问题，然后又刚好做完上一题的话，这道题其实可以直接复制过去AC。

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int m = in.nextInt();// bagSize 是 n// coins[] 是 m, [1,2,3...m]// dpint[] dp = new int[n + 1];// 初始化dp[0] = 1;// 先背包，后数字for (int j = 0; j <= n; j++) {for (int i = 1; i <= m; i++) {if (j >= i) {dp[j] += dp[j - i];}}}System.out.println(dp[n]);}
}