当前位置：首页 > news >正文

线性代数 - 叉积的分量形式与矩阵形式

news 2025/11/15 8:36:23

线性代数 - 叉积的分量形式与矩阵形式

flyfish

在这里插入图片描述

单位基向量与向量的分解

1. 三维坐标系与单位基向量

图中蓝色的x轴、红色的y轴、绿色的z轴构成了一个右手系三维笛卡尔坐标系（符合“右手定则”的空间定向）。

在这个坐标系中，有三个单位基向量：
$i^\hat{i}$ （蓝色箭头）：沿x轴方向的单位向量；
$j^\hat{j}$ （红色箭头）：沿y轴方向的单位向量；
$k^\hat{k}$ （绿色箭头）：沿z轴方向的单位向量。

这三个基向量两两垂直（夹角为 $90∘90^\circ$ ）

2. 向量 $a⃗\vec{a}$ 的分量分解

黑色箭头表示的向量 $a⃗\vec{a}$ 可以分解为三个基向量方向上的分量：
$a_x$ （灰色x方向箭头）： $a⃗\vec{a}$ 在x轴（ $i^\hat{i}$ 方向）上的分量；
$a_y$ （灰色y方向箭头）： $a⃗\vec{a}$ 在y轴（ $j^\hat{j}$ 方向）上的分量；
$a_z$ （灰色z方向箭头）： $a⃗\vec{a}$ 在z轴（ $k^\hat{k}$ 方向）上的分量。

从代数上，向量 $a⃗\vec{a}$ 可以表示为这三个分量与对应基向量的线性组合，类似三维空间里一个点需要用三个数来表示：
$a⃗=axi^+ayj^+azk^ \vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$

叉积的分量形式

步骤1：明确基向量的叉积规则

三维空间的单位基向量 $i^\hat{i}$ （x轴）、 $j^\hat{j}$ （y轴）、 $k^\hat{k}$ （z轴）仍满足以下性质：

自身叉乘为零： $i^×i^=j^×j^=k^×k^=0\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$ ；
循环正方向（右手定则）： $i^×j^=k^\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ ， $j^×k^=i^\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ ， $k^×i^=j^\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ ；
交换顺序变号： $j^×i^=−k^\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ ， $k^×j^=−i^\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ ， $i^×k^=−j^\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ 。

步骤2：将向量 $a⃗\vec{a}$ 和 $b⃗\vec{b}$ 用基向量展开

设小写向量 $a⃗\vec{a}$ 沿x、y、z轴的分量为 $a_x, a_y, a_z$ ， $b⃗\vec{b}$ 的分量为 $b_x, b_y, b_z$ ，则：
$a⃗=axi^+ayj^+azk^,b⃗=bxi^+byj^+bzk^ \vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}, \quad \vec{b} = b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}$

步骤3：利用叉积的分配律展开 $a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}$

按分配律将两个向量的基向量形式逐项叉乘（共9项）：
$a⃗×b⃗=(axi^+ayj^+azk^)×(bxi^+byj^+bzk^)=axi^×bxi^+axi^×byj^+axi^×bzk^+ayj^×bxi^+ayj^×byj^+ayj^×bzk^+azk^×bxi^+azk^×byj^+azk^×bzk^. \begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}) \times (b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}) \\ &= a_x\hat{i} \times b_x\hat{i} + a_x\hat{i} \times b_y\hat{j} + a_x\hat{i} \times b_z\hat{k} \\ &\quad + a_y\hat{j} \times b_x\hat{i} + a_y\hat{j} \times b_y\hat{j} + a_y\hat{j} \times b_z\hat{k} \\ &\quad + a_z\hat{k} \times b_x\hat{i} + a_z\hat{k} \times b_y\hat{j} + a_z\hat{k} \times b_z\hat{k}. \end{align*}$

步骤4：利用基向量规则化简每一项

对9项分别应用步骤1的规则，消去零项并整理符号：

$axbxi^×i^=0a_xb_x\hat{i} \times \hat{i} = 0$ （自身叉乘为零）；
$axbyi^×j^=axby⋅k^a_xb_y\hat{i} \times \hat{j} = a_xb_y \cdot \hat{k}$ （循环正方向）；
$axbzi^×k^=axbz⋅(−j^)a_xb_z\hat{i} \times \hat{k} = a_xb_z \cdot (-\hat{j})$ （交换顺序变号）；
$aybxj^×i^=aybx⋅(−k^)a_yb_x\hat{j} \times \hat{i} = a_yb_x \cdot (-\hat{k})$ （交换顺序变号）；
$aybyj^×j^=0a_yb_y\hat{j} \times \hat{j} = 0$ （自身叉乘为零）；
$aybzj^×k^=aybz⋅i^a_yb_z\hat{j} \times \hat{k} = a_yb_z \cdot \hat{i}$ （循环正方向）；
$azbxk^×i^=azbx⋅j^a_zb_x\hat{k} \times \hat{i} = a_zb_x \cdot \hat{j}$ （循环正方向）；
$azbyk^×j^=azby⋅(−i^)a_zb_y\hat{k} \times \hat{j} = a_zb_y \cdot (-\hat{i})$ （交换顺序变号）；
$azbzk^×k^=0a_zb_z\hat{k} \times \hat{k} = 0$ （自身叉乘为零）。

步骤5：合并同类基向量的项

按 $i^\hat{i}$ （x轴）、 $j^\hat{j}$ （y轴）、 $k^\hat{k}$ （z轴）分类，合并同一方向的非零项：

$i^\hat{i}$ 方向：项6 + 项8 = $aybzi^−azbyi^=(aybz−azby)i^a_yb_z\hat{i} - a_zb_y\hat{i} = (a_yb_z - a_zb_y)\hat{i}$ ；
$j^\hat{j}$ 方向：项3 + 项7 = $−axbzj^+azbxj^=(azbx−axbz)j^-a_xb_z\hat{j} + a_zb_x\hat{j} = (a_zb_x - a_xb_z)\hat{j}$ ；
$k^\hat{k}$ 方向：项2 + 项4 = $axbyk^−aybxk^=(axby−aybx)k^a_xb_y\hat{k} - a_yb_x\hat{k} = (a_xb_y - a_yb_x)\hat{k}$ 。

最终结果

$a⃗×b⃗=(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^ \vec{a} \times \vec{b} = \boxed{(a_yb_z - a_zb_y)\hat{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\hat{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\hat{k}}$

叉积的矩阵形式（三阶行列式）

叉积 $a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}$ 最标准的矩阵表示的是 以基向量为第一行、 $a⃗\vec{a}$ 分量为第二行、 $b⃗\vec{b}$ 分量为第三行的三阶行列式，矩阵结构与图中坐标系（ $i^\hat{i}$ -x轴、 $j^\hat{j}$ -y轴、 $k^\hat{k}$ -z轴）完全对应：
$a⃗×b⃗=∣i^j^k^axayazbxbybz∣ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

矩阵中各元素的含义：

第一行： $i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ （x、y、z轴的单位基向量，蓝色、红色、绿色箭头）；
第二行： $a_x, a_y, a_z$ （向量 $a⃗\vec{a}$ 沿x、y、z轴的分量）；
第三行： $b_x, b_y, b_z$ （向量 $b⃗\vec{b}$ 沿x、y、z轴的分量）。

矩阵（行列式）展开与分量形式的关联

这个三阶行列式按 第一行（基向量行）展开，就得到之前叉积分量形式，衔接矩阵运算与代数表达式：
$∣i^j^k^axayazbxbybz∣=i^⋅∣ayazbybz∣−j^⋅∣axazbxbz∣+k^⋅∣axaybxby∣ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \hat{i} \cdot \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \hat{j} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \hat{k} \cdot \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}$

再计算每个二阶行列式（主对角线减副对角线）：
$∣ayazbybz∣=aybz−azby\begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} = a_y b_z - a_z b_y$ （ $i^\hat{i}$ 方向分量）；

$∣axazbxbz∣=axbz−azbx\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} = a_x b_z - a_z b_x$ （乘以负号后为 $j^\hat{j}$ 方向分量）；

$∣axaybxby∣=axby−aybx\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = a_x b_y - a_y b_x$ （ $k^\hat{k}$ 方向分量）。

最终结果和之前一致，矩阵形式是叉积的“紧凑表达”，展开后就是具体分量：
$a⃗×b⃗=(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k}$