数据结构第七节：AVL树（初阶）
【本节要点】
AVL树的概念
AVL树结点的定义
AVL数的旋转
AVL树的插入
AVL树的验证
AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree） 是一种自平衡二叉搜索树（BST），通过严格限制节点的高度差（平衡因子）来保证高效的操作性能。本文将深入讲解其核心概念、节点结构、旋转操作及实现细节，适合算法初学者理解。
一、AVL树的概念
1.1 定义与特性
AVL树是首个自平衡二叉搜索树（BST），其核心特性体现在严格的高度控制上：
-
平衡因子约束：每个节点的左右子树高度差绝对值不超过1，平衡因子（BF）= 右子树高度 - 左子树高度
-
动态平衡机制：通过旋转操作维持平衡，树高始终为O(logN)
-
时间复杂度优势：所有基本操作（插入/删除/查找）的时间复杂度稳定为O(logN)
# ASCII树形结构示例
A (BF=1)
/ \
(BF=0)B C(BF=0)
/ \
D E1.2 应用场景
| 场景类型 | 适用原因 | 典型案例 |
|---|---|---|
| 数据库索引 | 减少磁盘I/O的跳跃次数 | MySQL的索引实现 |
| 实时系统 | 保证最坏情况下的响应时间 | 航空控制系统 |
| 缓存管理 | 快速检索热点数据 | Redis的有序集合 |
二、AVL树节点的定义（C++实现）
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv; // 键值对：存储数据
AVLTreeNode<K, V>* _left; // 左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right; // 右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 为了方便旋转操作，加入父节点
int _bf; // 平衡因子
// AVL树结点的构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};三、AVL树的旋转操作
旋转是AVL树维持平衡的核心机制，共四种类型：LL、RR、LR、RL。以下通过示例图解析旋转逻辑。
3.1 旋转触发条件
当插入或删除节点导致某节点|BF| > 1时，需执行旋转。
例如：插入节点后，根节点的BF(A) = 2（失衡）。
3.2 四种旋转类型
1. 左左：右单旋
场景：新节点插入较高左子树的左侧
步骤：
- 将60右旋为30的新右子树，。
- 更新60、30的高度。
- 调30-60-b的连接关系。
2. 右右：左单旋
场景：新节点插入较高右子树的右侧
3. 左右：先左单旋再右单旋
场景：新节点插入较高左子树的右侧
4. 右左：先右单旋再左单旋
新节点插入较高右子树的左侧
旋转类型对照表
| 旋转类型 | 触发条件 | 操作流程 |
|---|---|---|
| LL | 左子树的左子树过高 (BF=-2→-1) | 单次右旋 |
| RR | 右子树的右子树过高 (BF=+2→+1) | 单次左旋 |
| LR | 左子树的右子树过高 (BF=-2→+1) | 先左旋子节点再右旋 |
| RL | 右子树的左子树过高 (BF=+2→-1) | 先右旋子节点再左旋 |
四、AVL树的插入操作
插入流程步骤：
1. 定位插入位置：按二叉搜索树规则找到空节点位置。
2. 自底向上更新祖先节点的平衡因子：
- 若插入后
BF == 0：树平衡，插入完成。 - 若
BF == ±1：继续向上更新，可能引发祖父节点失衡。 - 若
BF == ±2：执行对应旋转（LL/RR/LR/RL）。
3. 递归处理
五、AVL树的验证
1. 验证其为二叉搜索树：如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树：
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
总结
AVL树通过严格的平衡约束，在动态数据场景下提供稳定的O(logN)操作效率。其核心在于旋转操作的灵活应用，但实现复杂度较高。实际工程中，Red-Black树因旋转规则更简单，常作为替代方案，但AVL树仍是理解自平衡BST的基础模型。
以上就是红黑树初阶知识的了解，接下来我会继续更新红黑树进阶：红黑树的模拟实现、使用红黑树底层对map和set容器的模拟实现。制作不易，请大家多多点赞收藏啦！！
