线性代数 - 齐次线性方程组的样子

线性代数 - 齐次线性方程组的样子

flyfish

齐次线性方程组是“等号右边全为0”，两种表达，矩阵形式+代数形式

1. 代数形式

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$
每个方程左边是未知数 $x_1,x_2,...,x_n$ 的线性组合（无平方、乘积项）；
每个方程右边固定为0（这是“齐次”的关键，非齐次方程组右边是非零常数）。

齐次线性方程组的关键是所有方程等号右边必须为0。若左边减去一个非零常数（比如把 $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=0$ 改成 $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2-5=0$），等价于等号右边变成该常数（即 $a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=5$），不再是0，就失去了“齐次性”，属于非齐次线性方程组。

只有减去的常数是0时，才仍是齐次线性方程组（相当于没变化）。
必然存在解：零向量（所有未知数都取 0）一定是它的解（即 “零解”）。
简单说满足 “线性 + 右边全为 0” 的方程组，就是齐次线性方程组。

2. 矩阵形式

$$A\mathbf{x}=0$$
$A$：$m\times n$ 矩阵（$m$ 个方程，$n$ 个未知数），即系数矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$$
$\mathbf{x}$：$n$ 维列向量（未知数向量）：$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$
$0$：$m$ 维零向量（等号右边全为0）：$0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$

齐次线性方程组的解只有 两种可能：要么仅1个解（零解），要么 无穷多个解（含零解+无数非零解），不存在“只有2个、3个或有限多个解”的情况。
只有1个解（零解）：$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y=0\end{array}$，唯一解 $(0,0)$；
无穷多解：$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+2y=0\end{array}$，解为 $(t,-t)$（$t$ 是任意常数），t取1、2、3、0.1、-5等无数值，对应无数个解。

类型1：唯一解（仅零解）

方程组只有 零向量这一个解（所有未知数都取0），无任何非零解。
系数矩阵的秩 = 未知数个数（n阶矩阵需满足 $\det (A)\ne 0$，即满秩）。
例子（二元）：
$$\{\begin{array}{l}x+3y=0\\ 2x+5y=0\end{array}$$
求解：由第一个方程得 $x=-3y$，代入第二个方程得 $-6y+5y=-y=0⟹y=0$，故 $x=0$，唯一解为 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$。

类型2：无穷多解（含零解+非零解）

除零解外，还存在 无数个非零解（非零解可通过线性组合生成），解的总数无穷。
系数矩阵的秩 < 未知数个数（n阶矩阵需满足 $\det (A)=0$，即降秩）。
例子（三元）：
$$\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x+2y-2z=0\\ 3x+3y-3z=0\end{array}$$
求解：三个方程等价于 $x+y=z$，无穷多解。