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卷积是将两个函数生成第三个函数。记这两个函数为 $f$ 和 $g$，则它们的卷积 $f\ast g$ 定义为

若 $f$ 和 $g$ 都是连续函数：
$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)g(t-x)dx$$

若 $f$ 和 $g$ 都是离散函数：
$$(f\ast g)(n)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)g(n-k)$$

卷积的几何意义为：

• 将一个函数转化为它的镜像 (即 $g(-t)$)，然后平移 (即 $g(x-t)$)，与另外一个函数 $f$ 乘积，最后在定义域内积分

下面的图形展示了两个函数 $f=e^{-x^2}$ 与 $g=e^{-(x-2{)}^2}$ 生成卷积的过程：

其中：

• 绿色是第一个函数 $f$
• 橙色是第二个函数 $g$
• 蓝色为两个函数的卷积函数
• 淡蓝色区域的面积为 $t$ 固定一个值时，两个函数的卷积值，即 $(f\ast g)(t)$（因为固定 t 时，卷积值本质上是关于x的一个积分，所以对应的是面积）
• 这个横坐标轴根据所表示的函数的定义域，既可以表示 $x$ ，也可以表示 $t$

让 AI 帮助生成的画图代码如下：

"""
@Python version : 3.12
@Author  : Zhen Chen
@Email   : [e-mail]
@Time    : 27/07/2025, 12:11
@Desc    : """
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from scipy.integrate import simps# 定义函数
def f(x):return np.exp(-x ** 2)def g(x):return np.exp(-(x - 2) ** 2)x = np.linspace(-5, 5, 400)
t_vals = np.linspace(-3, 7, 100)fx = f(x)
gx = g(x)  # 原始g(x)fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.set_xlim(-5, 10)
ax.set_ylim(-0.1, 1.3)
ax.set_xlabel('x / t')
ax.set_title('Convolution of two continuous functions')line_f, = ax.plot(x, fx, 'g-', lw=2, label='f(x)')
line_g_fixed, = ax.plot(x, gx, 'orange', lw=2, label='g(x) (fixed)')
line_g_slide, = ax.plot([], [], 'r-', lw=2, label='g(t - x)')
line_conv, = ax.plot([], [], 'b-', lw=2, label='(f * g)(t)')fill = ax.fill_between(x, 0, 0, color='b', alpha=0.3)
text = ax.text(0.02, 0.95, '', transform=ax.transAxes)ax.legend(loc='upper right')conv_x, conv_y = [], []def init():global conv_x, conv_y, fillconv_x, conv_y = [], []  # 清空旧数据line_conv.set_data([], [])line_g_slide.set_data([], [])text.set_text('')if fill is not None:fill.remove()fill = ax.fill_between(x, 0, 0, color='b', alpha=0.3)  # 重设为透明return line_conv, line_g_slide, fill, textdef update(i):global fill, conv_x, conv_yt = t_vals[i]gx_slide = g(t - x)prod = fx * gx_slideconv_val = simps(prod, x)line_g_slide.set_data(x, gx_slide)if fill is not None:fill.remove()fill = ax.fill_between(x, 0, prod, color='b', alpha=0.3)conv_x.append(t)conv_y.append(conv_val)line_conv.set_data(conv_x, conv_y)text.set_text(f't = {t:.2f}, convolution = {conv_val:.4f}')return line_g_slide, fill, line_conv, textimport matplotlib.patches as mpatches# 之前已有的图例句柄
handles, labels = ax.get_legend_handles_labels()# 新增一个 Patch，代表填充区域
fill_patch = mpatches.Patch(color='lightblue', alpha=0.5, label=r'Product area: $f(x) \cdot g(t - x)$')# 添加到图例句柄和标签中
handles.append(fill_patch)
labels.append(r'Product area: $f(x) \cdot g(t - x)$')ax.legend(handles, labels, loc='upper right')
ax.set_xlabel('x (function variable) and t (sliding parameter)')ani = FuncAnimation(fig, update, frames=len(t_vals), interval=100, blit=True, repeat=True, init_func=init)
# ani.save('convolution.gif', dpi=72)
plt.show()