最小生成树--Kruskal

最小生成树的概念

再将最小生成树前，我们需要知道什么是生成树，生成树即在无向图中的最小连通子图。那么最小生成树呢，就是该子图的权值和最小时的生成树。
性质：有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

kruskal的算法思想

那么我们要怎么实现这个算法呢，我们可以根据贪心的思想，每次取边权最小的一条边，给它加入生成树中，那么n-1次后，就能构成最小生成树了。那么怎么加入生成树中呢？我们这里可以运用并查集，如果边的祖先相同则说明边已经在生成树中，不同则可以把它加入生成树。

kruskal的代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//带权无向图
typedef struct node {
	int u, v;
	int w;
}Enode;
int n, m;
Enode e[5005];
int f[105];
int find(int x) {
	if (x == f[x]) {
		return x;
	}
	return f[x] = find(f[x]);
}
int sum;
void kruskal() {
	for (int i = 1;i <= n;i++) {
		f[i] = i;
	}
	for (int i = 1;i <= m;i++) {
		int x = e[i].u;
		int y = e[i].v;
		int f1 = find(x);
		int f2 = find(y);
		if (f1 != f2) {
			f[f1] = f2;
			sum += e[i].w;
		}
	}
}
bool cmp(node a,node b) {
	return a.w < b.w;
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	int x, y, w;
	
	for (int i = 1;i <= m;i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		e[i].u = x;
		e[i].v = y;
		e[i].w = w;
	}
	sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);
	kruskal();
	cout << sum;
	return 0;
}

kruskal的代码分析

我们使用kruskal算法使用的是边集数组，其原因是便于排序以及容易实现。而kruskal算法的时间复杂度也是取决于它的排序算法，为 nlogn 。最后把每次边的权值相加就可以算出最小生成树的权值和了。