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LeetCode算法日记 - Day 96: 最长回文子串

news 2025/11/8 9:10:06

1. 最长回文子串

1.1 题目解析

1.2 解法

1.3 代码实现

1. 最长回文子串

https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/description/

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

提示：

1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母组成

1.1 题目解析

题目本质
这是一个子串搜索问题，要在字符串中找出最长的回文子串。本质上需要判断所有可能子串的回文性质，并记录最长的那个。核心挑战是"如何高效判断并找出最长回文"。

常规解法
最直观的想法：枚举所有可能的子串，对每个子串都进行回文判断，记录最长的。

// 常规解法：暴力枚举（可能超时）static class BruteForceSolution {public String longestPalindrome(String s) {int n = s.length();String longest = "";// 枚举所有子串for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {// 提取子串并判断是否为回文String sub = s.substring(i, j + 1);if (isPalindrome(sub) && sub.length() > longest.length()) {longest = sub;}}}return longest;}// 判断字符串是否为回文private boolean isPalindrome(String str) {int left = 0, right = str.length() - 1;while (left < right) {if (str.charAt(left) != str.charAt(right)) {return false;}left++;right--;}return true;}}

问题分析
暴力枚举的复杂度是 O(n³)，当 n = 1000 时，10³ × 10³ × 10³ = 10⁹ 次操作，会超时。
关键观察：大回文串的判断依赖于小回文串

判断 "abcba" 是否为回文时，需要先确认 "bcb" 是回文

判断 "bcb" 是否为回文时，又需要确认 "c" 是回文

存在大量重复判断，可以优化

思路转折
要想高效 → 必须避免重复判断 → 动态规划预处理所有子串
核心洞察：回文串的递推性质

如果 s[i] == s[j]，且 s[i+1..j-1] 是回文，那么 s[i..j] 也是回文

可以从小区间推导到大区间

预先计算所有子串的回文性质，顺便记录最长的

状态定义：dp[i][j] = s[i..j] 是否为回文

1.2 解法

算法思想
采用区间动态规划：

1. 定义 dp[i][j] = s[i..j] 是否为回文子串

2. 状态转移：

单字符：dp[i][i] = true

相邻字符：dp[i][i+1] = (s[i] == s[i+1])

其他情况：dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i+1][j-1]

3. 遍历顺序：i 从大到小（n-1 → 0），j 从小到大（i → n-1）

4. 过程中记录最长回文的起始位置和长度

步骤拆解

i）边界处理：长度小于2直接返回

ii）初始化：创建 boolean[][] dp，初始 begin=0, len=1

iii）填表：

外层循环：i 从 n-1 倒序到 0

内层循环：j 从 i 正序到 n-1

判断 s[i] 是否等于 s[j]：
- 相等 + 单字符（i==j）→ dp[i][j] = true
- 相等 + 相邻（i+1==j）→ dp[i][j] = true
- 相等 + 其他 → dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
- 不相等 → 保持 false
若 dp[i][j] 为真且长度更长，更新 begin 和 len

iv）返回结果：s.substring(begin, begin+len)

易错点

遍历顺序错误：必须 i 倒序（i-- 而不是 i++），因为 dp[i][j] 依赖 dp[i+1][j-1]。如果写成 i++ 会导致无限循环

长度计算错误：区间 [i, j] 的长度是 j-i+1，不是 i-j+1。因为 j >= i（j在右边），写反会得到负数或0

begin 更新遗漏：找到更长回文时，必须同时更新 begin 和 len，否则起始位置和长度不匹配，导致提取错误的子串

边界条件处理：相邻字符判断应该是 i+1 == j 或 j-i == 1，不要写成 i == j-1（虽然等价但容易混淆）。在这种情况下不能直接访问 dp[i+1][j-1]，否则会越界

1.3 代码实现

// 最长回文子串
static class Solution {public String longestPalindrome(String s) {int n = s.length();if (n < 2) return s;  // 边界处理char[] ch = s.toCharArray();boolean[][] dp = new boolean[n][n];int begin = 0, len = 1;  // 初始化：至少有单字符// 填表：i 倒序，j 正序for (int i = n-1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < n; j++) {if (ch[i] == ch[j]) {// 首尾字符相等if (i == j) {dp[i][j] = true;  // 单字符} else if (i+1 == j) {dp[i][j] = true;  // 相邻字符} else {dp[i][j] = dp[i+1][j-1];  // 看内部}}// 首尾不等，保持 false// 更新最长回文if (dp[i][j] && j-i+1 > len) {begin = i;len = j-i+1;}}}return s.substring(begin, begin + len);}
}

复杂度分析