线性代数——矩阵、向量详解

矩阵是线性代数的基石，在数学、物理、计算机科学、工程学等众多领域都有极其广泛的应用。

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第一部分：矩阵的基本概念

1. 什么是矩阵？

定义： 矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。可以把它想象成一个二维的数字表格。

表示方法：

• 通常用大写粗体字母表示，如 A, B, C。
• 一个矩阵由行和列组成。
• 矩阵的大小或维度用“行数 × 列数”来表示。例如，一个 m 行 n 列的矩阵称为 m × n 矩阵。

元素： 矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。元素的位置由它的行索引 i 和列索引 j 确定，记为 $a_{ij}$。

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

示例：
$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$
这是一个 2 行 3 列的矩阵，即 2×3 矩阵。其中，元素 $b_{21}=4$。

2. 一些特殊类型的矩阵

• 行向量： 只有一行的矩阵（1×n 矩阵）。例如：$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$。
• 列向量： 只有一列的矩阵（m×1 矩阵）。例如：$\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$。
• 方阵： 行数和列数相等的矩阵（n×n 矩阵）。
• 零矩阵： 所有元素都为零的矩阵，记作 O 或 0。
• 单位矩阵： 一种特殊的方阵，主对角线（从左上到右下）上的元素都是 1，其他元素都是 0，记作 I 或 E。
  $\mathbf{I}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
  单位矩阵在矩阵乘法中类似于数字 1 的作用。
• 对角矩阵： 非主对角线上的元素全为零的方阵。
• 三角矩阵： 主对角线以上或以下全为零的方阵。分为上三角矩阵和下三角矩阵。

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第二部分：矩阵的基本操作

1. 矩阵的加法与减法

规则： 只有相同维度的矩阵才可以相加或相减。操作是对应元素相加或相减。
$\mathbf{C}=\mathbf{A}\pm \mathbf{B}⟹c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$

示例：
$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$+$\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$

性质：

• 交换律： $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$
• 结合律： $(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$

2. 标量与矩阵的乘法（数乘）($k\mathbf{A}$=$\mathbf{A}k$)

规则： 用一个标量（一个数）k 乘以一个矩阵，即用 k 乘以该矩阵的每一个元素。

$\mathbf{B}=k\mathbf{A}⟹b_{ij}=k\cdot a_{ij}$

示例：
$3\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}3\times 1& 3\times 2\\ 3\times 3& 3\times 4\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]$

3. 矩阵的乘法

这是矩阵运算中最重要也是最复杂的一个操作。

规则：

• 前提条件： 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
  • 如果 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，则乘积 AB 才有意义，结果是一个 m×p 矩阵。
• 计算方法： 结果矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素 $c_{ij}$，等于 A 的第 i 行向量与 B 的第 j 列向量的点积（内积）。

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$

示例：
$\mathbf{A}={\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}_{2\times 2},\mathbf{B}={\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]}_{2\times 2}$

计算 $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$（一个 2×2 矩阵）：

• $c_{11}=(1,2)\cdot (5,7)=(1\times 5)+(2\times 7)=5+14=19$
• $c_{12}=(1,2)\cdot (6,8)=(1\times 6)+(2\times 8)=6+16=22$
• $c_{21}=(3,4)\cdot (5,7)=(3\times 5)+(4\times 7)=15+28=43$
• $c_{22}=(3,4)\cdot (6,8)=(3\times 6)+(4\times 8)=18+32=50$

所以：
$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$

重要性质：

• 不满足交换律： 在绝大多数情况下，$\mathbf{AB}\ne \mathbf{BA}$。这是矩阵乘法和数字乘法最根本的区别。
• 满足结合律： $(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})$
• 满足分配律： $\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC}$
• 单位矩阵是乘法单位元： $\mathbf{IA}=\mathbf{A}$ 且 $\mathbf{AI}=\mathbf{A}$

4.行矩阵与列矩阵的操作（列向量与行向量 ）

一个行矩阵（1n）与一个列矩阵（n1）相乘，最后是一个标量结果；所以一般来说线性代数权重结果是一个列矩阵。

一个列矩阵（n1）与一个行矩阵（1m）相乘，最后得到一个n*m的矩阵；

5. 矩阵的转置

定义： 将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置，记作 ${\mathbf{A}}^T$ 或 ${\mathbf{A}}^{\prime }$。

规则： 原矩阵的第 i 行第 j 列的元素，成为转置矩阵的第 j 行第 i 列的元素。

$\mathbf{B}={\mathbf{A}}^T⟹b_{ji}=a_{ij}$

示例：
[
$\mathbf{A}$ = $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$2\times 3$
$\Rightarrow$
${\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$$3\times 2$
]

性质：

• $({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}$
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T$
• $(\mathbf{AB}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$（重要！顺序颠倒）
• 如果 ${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$，则称 A 为对称矩阵。

对于列向量和行向量
$\mathbf{A}$=$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$
${\mathbf{A}}^T$=$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

因为列向量书写相对复杂，所以可以写成行向量的转置

5. 矩阵的逆

定义： 只有方阵（n×n）才可能有逆矩阵。矩阵 A 的逆矩阵记作 ${\mathbf{A}}^{-1}$，满足以下条件：

[
$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$
]

其中 I 是单位矩阵。逆矩阵的作用类似于数字的倒数（如 5 的倒数是 1/5，因为 5 × (1/5) = 1）。

重要概念：

• 可逆矩阵/非奇异矩阵： 存在逆矩阵的方阵。
• 奇异矩阵： 不存在逆矩阵的方阵。其行列式值为 0。

计算方法（对于 2×2 矩阵有简洁公式）：
对于矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，其逆矩阵为：
${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$
其中，( ad-bc ) 是矩阵 A 的行列式，记作 $\det (\mathbf{A})$。只有当 $\det (\mathbf{A})\ne 0$ 时，逆矩阵才存在。

示例：
求 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right]$ 的逆。

1. 计算行列式： $\det (\mathbf{A})=(2\times 2)-(3\times 2)=4-6=-2\ne 0$，所以可逆。
2. 代入公式： ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1.5\\ 1& -1\end{array}\right]$
3. 验证： $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 1.5\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

性质：

• $({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}$
• $(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ （重要！顺序颠倒）
• $({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T$

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总结与应用

核心概念关系图：
矩阵A + 矩阵B -> (加法) -> 矩阵C (需同形)
矩阵A × 矩阵B -> (乘法) -> 矩阵C (A列数 = B行数)

核心应用：
矩阵是表示和处理线性方程组、线性变换（旋转、缩放、剪切等）、数据（如图像就是像素矩阵）的强大工具。

• 线性方程组：方程组 $\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 4x-y=3\end{array}$ 可以表示为 $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$，即 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$。解为 $\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$。
• 计算机图形学：物体的平移、旋转、缩放都可以通过矩阵乘法来实现。
• 机器学习：数据集通常表示为样本×特征的矩阵，许多算法（如PCA）都依赖于矩阵运算。