三元轮换：用一次函数单调性破解

不等式妙解｜用一次函数单调性破解三元轮换式 🔍

同学们，今天我们要玩一个"不等式"游戏．题目看起来简单，但解法却暗藏玄机．🤔

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🎯 问题描述

设$x,y,z\in (0,1)$，求证：
$$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$$

观察特征：

1. 三元轮换对称结构（像旋转木马🎠）
2. 每个变量都同时出现在系数和被乘项中
3. 定义域限制在开区间$(0,1)$

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💡 破题思路

第一步：尝试常规展开（但会陷入混乱）：

原式=$x+y+z-xy-yz-zx$，要证它<1．

💡关键灵感：把不等式整理成关于某个变量的一次函数！比如固定$y,z$，把$x$看作变量．

⚠️注意：在多元不等式中，锁定一个变量进行主元分析是常见策略．就像玩魔方时先固定一面🧩．

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🔥 关键推导

构造函数：
把不等式改写为：
$$(1-y-z)x+y+z-yz-1<0$$
令：
$$f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1$$
这是一个关于$x$的一次函数（因为$y,z$视为常数）．

🔍单调性分析：
由于$x\in (0,1)$，我们只需验证端点值：

1. 当$x=0$时：
   $$\begin{array}{rl}f(0)& =y+z-yz-1\\ & =-(1-y)(1-z)\\ & <0\end{array}$$
   （因为$y,z\in (0,1)$，两个括号都为正）

2. 当$x=1$时：
   $$\begin{array}{rl}f(1)& =(1-y-z)+y+z-yz-1\\ & =-yz\\ & <0\end{array}$$

🎯致命一击：
一次函数在区间两端都为负值，且没有极值点（直线单调），因此在整个$(0,1)$区间内$f(x)<0$恒成立！

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📚 总结升华

解题策略：

1. 主元法：在多变量问题中选择一个"主元"
2. 函数化：将不等式转化为函数单调性问题
3. 端点检验：对于线性函数，只需验证定义域端点

本文用到的数学工具：一次函数单调性+主元思想=不等式证明的"黄金搭档"✨