B样条曲线降阶方法介绍
B样条曲线的降阶（Degree Reduction）是指将一条 p 次 B 样条曲线近似或精确地转换为一条次数为 p−1（或更低）的 B 样条曲线的过程。
1. 问题设定
原始曲线（p 次）：C(u) = Σᵢ₌₀ⁿ Pᵢ · Nᵢ,ₚ(u)
目标曲线（p−1 次）：C̃(u) = Σⱼ₌₀ᵐ Qⱼ · Nⱼ,ₚ₋₁(u)
其中：
Pᵢ：原始控制点（i = 0,…,n）；Qⱼ：待求的新控制点（j = 0,…,m）；Nᵢ,ₚ(u)和Nⱼ,ₚ₋₁(u)：分别基于节点向量U和Ũ的 B 样条基函数；- 通常要求
C̃(u) ≈ C(u)，在某种度量下误差最小。
2. 降阶的两种类型
（1）精确降阶（Exact Degree Reduction）
- 仅当原曲线实际属于更低次数的多项式空间时可行；
- 例如：一条用三次 B 样条表示的抛物线，可精确降为二次；
- 判定方法：检查控制点是否满足低次曲线的 blossom 或差分条件。
（2）近似降阶（Approximate Degree Reduction）
- 更常见的情况；
- 目标是最小化某种误差范数（如
L²、L∞或插值误差）； - 常用方法包括：最小二乘法、插值约束、端点约束保持等。
3. 常用降阶方法
方法一：最小二乘降阶（Least-Squares Degree Reduction）
在参数区间上最小化平方误差：E = ∫[a,b] ‖C(u) − C̃(u)‖² du → min
离散化后，选取一组参数点 {uₖ}（如 Greville 点或高斯点），构建线性方程组：A · Q = B
其中：
Aₖⱼ = Nⱼ,ₚ₋₁(uₖ)Bₖ = C(uₖ) = Σᵢ Pᵢ · Nᵢ,ₚ(uₖ)
求解该超定方程组（通常用 QR 分解或正规方程）得到 Qⱼ。
方法二：约束降阶（Constrained Degree Reduction）
在最小二乘基础上，强制保持端点几何性质，例如：
C̃(uₚ₋₁) = C(uₚ)（起点重合）C̃(uₘ₋ₚ₊₁) = C(uₘ₋ₚ)（终点重合）- 甚至保持一阶/二阶导数（即切线、曲率）
这通过在方程组中加入等式约束实现，或使用拉格朗日乘子法。
例如，对 clamped 曲线，常要求：Q₀ = P₀ Qₘ = Pₙ
方法三：基于 blossom 的降阶（适用于精确情形）
利用 B 样条的 blossom（开花）性质，若原曲线的 blossom 满足对称性条件，则可直接计算低次控制点。
对于均匀或 clamped 情况，若满足：Δ²Pᵢ = 0 （二阶差分为零）
则三次曲线可精确降为二次。
但该方法对一般非均匀曲线较复杂，工程中较少直接使用。
4. 节点向量处理
降阶时，新曲线的节点向量 Ũ 通常取为：
- 原节点向量
U去掉首尾一个重复节点（因次数减 1）； - 或保持相同节点结构（但解释为
p−1次）； - 有时需重新 knot insertion 以对齐参数化。
例如，原 clamped 节点向量（p=3）：U = {0,0,0,0, u₄,…,uₖ, 1,1,1,1}
降阶到 p=2 后，常用：Ũ = {0,0,0, u₄,…,uₖ, 1,1,1}
5. 误差评估
降阶后应评估误差，常用指标：
- 最大偏差：
max ‖C(u) − C̃(u)‖ - 平均平方误差：
√(1/(b−a) ∫‖·‖² du) - Hausdorff 距离（几何距离）
若误差超过容差，可：
- 局部细分原曲线后分别降阶；
- 放弃降阶，保留原次数。
6. 应用场景
- 数据压缩：减少控制点数量和计算复杂度；
- 格式兼容：某些系统仅支持低次曲线（如 SVG 仅支持二次/三次）；
- 逆向工程：从高次拟合结果中提取简洁表示；
- 实时渲染：用低次曲线加速计算。
7. 注意事项
- 降阶不可逆（信息丢失）；
- 高曲率或高阶连续性区域降阶误差较大；
- 对 NURBS（有理 B 样条），降阶更复杂，通常先转换为非有理形式或使用有理最小二乘。
总结
| 特性 | 升阶 | 降阶 |
|---|---|---|
| 几何保真 | ✅ 完全保持 | ❌ 通常近似 |
| 控制点数量 | 增加 | 减少 |
| 是否唯一 | 是 | 否（依赖优化目标） |
| 常用方法 | 显式公式（αⱼ 加权） | 最小二乘、约束优化 |
如需实现，推荐使用成熟几何库（如 OpenCASCADE、geomdl、NURBS-Python）中的降阶函数，它们已处理了数值稳定性和边界约束问题。