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【基础排序】CF - 最优排列Permutator

news 2025/11/6 9:12:02

题目描述

Manuel 和 Felix 在 TeamsCode 比赛前一晚一直在寻找一个有趣的数学题。他们最终找到了一个问题：

Omer 有两个长度相同的整数数组 $a$ 和 $b$ 。

他可以重新排列数组 $b$ 的顺序，以最小化以下表达式的值：

$∑i=0n−1∑j=in−1∑k=ijak⋅bk\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=i}^{n-1}\sum_{k=i}^{j} a_k \cdot b_k$

换句话说，Omer 想要通过重新排列 $b$ ，使得对于所有子数组 $[i, j]$ ， $∑k=ijak⋅bk\sum_{k=i}^{j} a_k \cdot b_k$ 的总和尽可能小。

请你帮助他计算出在最优排列下，这个表达式的最小可能值。

输入格式

第一行输入一个整数 $n$ ，表示两个数组的长度。

第二行输入 $n$ 个整数 $a0,a1,…,an−1a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ ，表示数组 $a$ 。

第三行输入 $n$ 个整数 $b0,b1,…,bn−1b_0, b_1, \dots, b_{n-1}$ ，表示数组 $b$ 。

输出格式

输出一个整数，表示通过重新排列 $b$ 所能得到的最小值。

样例 #1

输入

3
5 4 -1
4 3 2

输出

样例说明

一种最优的排列方式是将 $b$ 重新排列为： $b = [3, 2, 4]$

此时表达式的值为最小，结果为 $65$ 。

数据范围

$\le n \le 10^5$
$\le a_i, b_i \le 100$

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Permutator

思路分析

🧩 我们有两个数组 a 和 b，可以重新排列数组 b 的顺序，目标是让下式的值尽可能小：

$∑i=0n−1∑j=in−1∑k=ijak⋅bk\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=i}^{n-1} \sum_{k=i}^{j} a_k \cdot b_k$

看上去三重循环非常吓人 😵，但其实我们可以把它“化简”！

🧮 化简推导过程

我们来观察每个 ( $ak⋅bka_k \cdot b_k$ ) 在式子中出现了多少次。

位置 $k$ 会被多少个子区间 [i, j] 包含呢？

👉 当左端点 ( $\le k$ ) 且右端点 ( $\ge k$ ) 时，它才会被选中。

左端点 ( $i$ ) 可以取 ( $\sim k$ )，有 ( $k$ ) 种；
右端点 ( $j$ ) 可以取 ( $\sim n$ )，有 ( $n - k + 1$ ) 种。

所以每个位置 ( $k$ ) 的贡献次数是：

$ck=k×(n−k+1)c_k = k \times (n - k + 1)$

于是整个式子就可以改写为：

$总和=∑k=1nck⋅ak⋅bk\text{总和} = \sum_{k=1}^{n} c_k \cdot a_k \cdot b_k$

🔢 构造新的数组

我们把每个 ( $a_k$ ) 都乘上它的出现次数，构造新数组：

$ak′=ak×k×(n−k+1)a'_k = a_k \times k \times (n - k + 1)$

于是问题就变成了：重新排列 b，使得： $∑ak′⋅bk\sum a'_k \cdot b_k$ 的值最小。

🧠 重排不等式登场！

根据著名的 重排不等式（Rearrangement Inequality）：

如果两个序列同向排序（都升序或都降序） → 点积最大 💥
如果两个序列反向排序（一个升序一个降序） → 点积最小 🧊

因此，我们要：

✅ 把 a' 升序排列
✅ 把 b 降序排列

然后一一配对相乘即可。

💻 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 1e5 + 9;
long long a[maxn], b[maxn];
int n;int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];a[i] = a[i] * i * (n - i + 1); // 加权}sort(a + 1, a + n + 1); // a' 升序for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];sort(b + 1, b + n + 1, greater<int>()); // b 降序long long sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)sum += a[i] * b[i];cout << sum;return 0;
}