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AVL 树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

AVL 树的特征：

1. 它的左右子树都是 AVL 树

2. 左右子树的高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1 

图形演示：

拿节点 3 举例：
节点 3 的左节点的高度为 3，右节点的高度为 2，那么节点 3 的 -1 是 2 减去 3 得来的，所以可以看出是右节点的高度减去左节点的高度

节点 7 也是同样的道理：
节点 7 的左节点高度为 2，右节点高度为 3，3减去2 就是节点 7 的平衡因子

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节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}AVLTreeNode<K, V>* _left;    //指向该节点的左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;   //指向该节点的右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //指向该节点的父亲节点pair<K, V> _kv; //存储int _bf; //平衡因子
};

将单个节点设置为KV结构，并且不能出现相同的K 

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AVL 树的定义

template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTree<K, V> Node;public:// ...private:Node* _root = nullptr;
};

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插入

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{//当为空树时if (_root == nullptr){// 直接链接_root = new Node(kv);return true;}// 不为空树时，先找到合适的位置插入Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur != nullptr){// 左小右大if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 说明有相同的key，直接返回 falsereturn false;}}// 走到这里表示走到空了，可以插入了cur = new Node(kv);if (parent->_bf.first > kv.first){// 说明父亲节点的值大于key，那么就插入到左边parent->_left = cur;}else{// 否则就插入到右边parent->_right = cur;}// 并且与父亲节点链接cur->_parent = parent;/* 插入完成后，管控平衡 */while (parent != nullptr){// 左减右加if (cur == parent->_left){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}// 判断平衡因子的状态if (parent->_bf == 0){// 说明左右平衡break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){// 向上调整祖先平衡因子的状态cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){// 旋转调整if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;
}
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if(subRL != nullptr)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}// 更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if(subLR != nullptr)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}// 更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else{assert(false);}
}