C语言应用实例：斐波那契数列与其其他应用

一、什么是斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列 ，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”

其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……

在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：

F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

二、基础题型

1.题目

现在有如下山寨版斐波拉契数列公式：

这里a和b是定值，现给出a，b和n，计算 f(n)。

要求：输入第一行有一个正整数T(T<=10)，表示测试实例的个数。
每个测试实例一行，包括三个正整数a，b和n(a<=10,b<=10,n<=30)

输出对于每个测试实例，输出一行包含一个正整数f(n)。

2.题解

首先定义一个返回值为整型的函数fn用于处理数据

包含变量a，b，n

主函数输出

3.完整代码

#include<stdio.h>int fn(int a,int b,int n){if(n==1){return a;}else if(n==2){return b;}else if(n>2&&n%2==0){return fn(a,b,n-1)+fn(a,b,n-2)+fn(a,b,n-3);}else{return fn(a,b,n-1)+fn(a,b,n-2);}
}int main(){int T;scanf("%d",&T);for(int i=0;i<T;i++){int a,b,n;int f=0;scanf("%d %d %d",&a,&b,&n);int N=fn(a,b,n);printf("%d\n",N);}return 0;
}

三、拓展题型

1.题目

现在，有一个新的斐波那契数列，定义如下：

F(0)=7,
F(1)=11,
F(n)=F(n−1)+F(n−2)(n>=2)

要求：输入包含多组测试样例，每组测试样例包含一个整数n (n<1,000,000)。

如果F(n)能够被3整除，请输出"yes"，否则请输出"no"。

2.题解

按照常规思路来说，我们会按以下方式来写

#include<stdio.h>int fn(int n){if(n==0){return 7;}else if(n==1){return 11;}else{return fn(n-1)+fn(n-2);}
}int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(fn(n)%3==0){printf("yes\n");}else{printf("no\n");}}return 0;
}

这是最容易想到的的思路，也就是暴力枚举法，但是这样做的话运行时间会很长，远远超过了1s，效率很低，所以便需要转换思路来寻找一个效率相对较高的方法

处理超时问题最常用的思路就是找规律

目前我们已知该数列如下

1->7->1*7

2->11->1*11

3->18->1*7+1*11

4->29->1*7+2*11

5->...->2*7+3*11

6->...->3*7+4*11

7->...5*7+7*11

8->...8*7+11*11

......

到这里，我们发现每个数似乎都可以表示为a*7+b*11的形式（b>a）

要知道，题目要求找到能够整除三的数，而7+11=18刚好可以整除，所以我们只需找到(b-a)能够整除3的项即可

回过头来再看这个数列，我们不难发现一个规律：a和b似乎分别是一个斐波那契数列，二者刚好错位一个单位，所以可得出二者之差一定也是个斐波那契数列

回到数列当中，我们会发现两者之差从第四项开始是一个典型的斐波那契数列

通过观察斐波那契数列可得：其第4、8、12、16...项为三的倍数

故此题得解：n<=2时特殊考虑，>2时（n-2）%4==0则输出yes，否则输出no

3.完整代码

#include<stdio.h>int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==0||n==1){printf("no\n");}else if(n==2){printf("yes\n");}else{n-=2;if(n%4==0){printf("yes\n");}else{printf("no\n");}}}return 0;
}