数据结构（17）
目录
一、拓扑排序
二、关键路径
三、最短路径
1、最短路径的核心概念与分类
（1）基本定义
（2）关键前提
（3）问题分类
2、单源最短路径算法（从 A 到所有顶点）
（1）Dijkstra 算法（权值非负的图）
（2）Bellman-Ford 算法（含负权边，无负权回路）
3、多源最短路径算法（所有顶点对）
4、最短路径的应用场景
5、算法选择总结
一、拓扑排序
概念：对一个有向无环图中的顶点排成一个具有前后次序的线性序列
方法：
① 输入AOV网络，令 n 为顶点个数
② 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点，并输出
③ 从图中删去该顶点，同时删去所有它发出的有向边
④ 重复以上②③ 步，直到：
a. 全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成
b. 图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。说明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必存在有向环。
二、关键路径
概念：完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就叫观景路经。
AOE网中：顺序进行；并行进行
三、最短路径
在带权有向图中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
在带权有向图中，从源点（A 点）到终点（B 点）的最短路径是指 “所有从 A 到 B 的路径中，各边权值之和最小的路径”。这里的 “最短” 并非指路径包含的边数最少，而是权值总和最小（权值可表示距离、时间、成本等实际含义）。求解最短路径是图论中的核心问题，根据图的特性（如权值是否为负、是否有环）和需求（单源最短路径、多源最短路径），有多种经典算法。
1、最短路径的核心概念与分类
（1）基本定义
- 路径的权值和：一条路径 P=(v0,v1,...,vk) 的权值和为各边权值之和，即 W(P)=∑i=0k−1weight(vi,vi+1)。
- 最短路径：从源点 A 到终点 B 的所有路径中，权值和 W(P) 最小的路径，其权值和称为 “最短距离”（即使存在多条路径权值和相同，均视为最短路径）。
（2）关键前提
- 若图中存在负权回路（从某顶点出发，沿回路回到该顶点的权值和为负），且该回路在从 A 到 B 的某条路径上，则不存在最短路径（可通过循环绕路无限减小权值和）。
- 因此，最短路径算法通常假设图中无负权回路（或负权回路不在源点到终点的路径中）。
（3）问题分类
- 单源最短路径：求从一个固定源点到其他所有顶点的最短路径（如从 A 到 B、A 到 C、A 到 D 等）。
- 单对顶点最短路径：仅求从源点 A 到特定终点 B 的最短路径（可视为单源问题的特例）。
- 多源最短路径：求图中所有 pairs (u,v) 之间的最短路径（如任意两点间的最短距离）。
2、单源最短路径算法（从 A 到所有顶点）
（1）Dijkstra 算法（权值非负的图）
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适用场景：带权有向图（或无向图），所有边的权值 非负（weight≥0）。
-
核心思想：贪心策略 —— 从源点出发，逐步确定 “已找到最短路径的顶点集”，每次选择 “当前距离源点最近的未确定顶点”，并用该顶点优化其邻接顶点的距离。
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步骤：
- 初始化：
- 设源点为 s，数组 dist[] 存储各顶点到 s 的当前最短距离（初始 dist[s]=0，其他顶点 dist[v]=∞）。
- 数组 visited[] 标记顶点是否已确定最短路径（初始全为 false）。
- 迭代更新：
- 从 visited[] 为 false 的顶点中，选择 dist[v] 最小的顶点 u，标记 visited[u]=true（确定其最短路径）。
- 对 u 的所有邻接顶点 v，若 dist[v]>dist[u]+weight(u,v)，则更新 dist[v]=dist[u]+weight(u,v)（通过 u 到达 v 更近）。
- 终止：重复步骤 2，直至所有顶点均被标记（visited[] 全为 true），此时 dist[] 存储源点到各顶点的最短距离。
- 初始化：
-
示例：带权有向图：A→B（权 2），A→C（权 5），B→C（权 1），B→D（权 6），C→D（权 3）。源点为 A：
- 初始 dist=[0,∞,∞,∞]（A:0, B:∞, C:∞, D:∞）。
- 选 A（dist=0），更新邻接顶点：B=2，C=5。
- 选 B（dist=2），更新邻接顶点：C=min(5,2+1)=3，D=2+6=8。
- 选 C（dist=3），更新邻接顶点：D=min(8,3+3)=6。
- 选 D（dist=6），结束。
- 结果：A→B→C→D 是最短路径，权值和 6。
-
特点：
- 时间复杂度：用优先队列优化后为 O((n+e)logn)（n 顶点数，e 边数），适合稀疏图。
- 局限性：无法处理负权边（因负权边可能导致已确定的最短路径被后续更短路径推翻）。
（2）Bellman-Ford 算法（含负权边，无负权回路）
-
适用场景：带权有向图，可含负权边，但无负权回路（否则最短路径不存在）。
-
核心思想：松弛操作 —— 通过最多 n−1 次迭代（n 为顶点数），逐步松弛所有边，更新顶点的最短距离；最后检查是否存在可松弛的边（判断负权回路）。
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步骤：
- 初始化：dist[s]=0，其他 dist[v]=∞。
- 松弛迭代：
- 对所有边 (u,v) 执行 n−1 次：若 dist[v]>dist[u]+weight(u,v)，则更新 dist[v]=dist[u]+weight(u,v)。
- （原理：最短路径最多含 n−1 条边，n−1 次迭代可确保所有路径被松弛）。
- 负权回路检测：
- 第 n 次迭代中，若仍存在可松弛的边 (u,v)，则图中存在负权回路（因 n 条边的路径必含环，且环为负权）。
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特点：
- 时间复杂度：O(n⋅e)（简单实现），适合边数较少的图。
- 优势：可处理负权边，且能检测负权回路。
3、多源最短路径算法（所有顶点对）
Floyd-Warshall 算法（权值可正可负，无负权回路）
-
适用场景：带权有向图，可含负权边，但无负权回路，需一次性求所有顶点对之间的最短路径。
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核心思想：动态规划 —— 通过中间顶点优化路径，即 “从 i 到 j 的最短路径，要么直接走 i→j，要么经过中间顶点 k 走 i→k→j”。
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步骤：
- 初始化距离矩阵：dist[i][j] 表示 i 到 j 的初始距离（直接边的权值，无直接边则为 ∞，dist[i][i]=0）。
- 动态规划迭代：
- 对每个中间顶点 k（从 0 到 n−1）：
- 对所有顶点对 (i,j)：dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j])。
- 对每个中间顶点 k（从 0 到 n−1）：
- 结果：迭代结束后，dist[i][j] 即为 i 到 j 的最短距离。
-
特点：
- 时间复杂度：O(n3)（n 为顶点数），适合顶点数较少的图（如 n<400）。
- 优势：实现简单（三重循环），可处理负权边，一次性解决所有顶点对的最短路径。
4、最短路径的应用场景
- 导航系统：计算两地之间的最短驾驶距离或最少时间（权值为距离 / 时间）。
- 网络路由：数据包从源节点到目标节点的最优传输路径（权值为延迟 / 带宽）。
- 物流规划：从仓库到多个配送点的最低运输成本路径（权值为运输成本）。
- 游戏 AI：角色在地图中寻找从起点到终点的最短移动路径（权值为步数 / 能耗）。
5、算法选择总结
| 场景 | 推荐算法 | 时间复杂度 | 优势 |
|---|---|---|---|
| 单源，权值非负 | Dijkstra | O((n+e)logn) | 高效，适合稀疏图 |
| 单源，含负权边（无负环） | Bellman-Ford | O(n⋅e) | 可处理负权边，检测负环 |
| 多源，所有顶点对 | Floyd-Warshall | O(n3) | 实现简单，适合顶点少的图 |