数据结构（16）

目录

有向无环图及其应用

二、AOE网

1、AOE 网的核心定义与要素

2、AOE 网的关键概念（时间参数）

（1）事件的最早发生时间（ve(i)）

（2）事件的最迟发生时间（vl(i)）

（3）活动的最早开始时间（e(k)）

（4）活动的最迟开始时间（l(k)）

3、AOE 网的核心应用：关键路径（Critical Path）

4、示例说明（项目开发 AOE 网）

5、AOE 网与 AOV 网的对比

有向无环图及其应用

二、AOE网

AOE 网（Activity On Edge Network，边表示活动的网）是一种带权有向无环图（DAG），专门用于描述 “包含时间维度的复杂活动流程”—— 图中的边代表具体活动（并附带活动的持续时间），顶点代表 “事件”（即活动的开始或结束节点）。它在 AOV 网的基础上增加了 “时间信息”，可用于分析项目的最短完成时间、关键路径等关键问题，是项目管理和流程优化的核心工具。

1、AOE 网的核心定义与要素

AOE 网的核心是用 “边承载活动时间”“顶点标记事件节点”，需满足以下要素：

（1）顶点（事件，Event）：表示一个 “状态节点”，标志着所有 “进入该顶点的边（活动）” 已完成，所有 “从该顶点出发的边（活动）” 可以开始。

① 示例：在项目流程中，顶点可能代表 “需求分析完成”“开发阶段开始” 等标志性事件。

② 特殊顶点：

a. 源点（Start Vertex）：入度为 0 的顶点，代表整个项目的 “开始事件”（所有活动的起点）。

b. 汇点（End Vertex）：出度为 0 的顶点，代表整个项目的 “结束事件”（所有活动的终点）。

（2）有向边（活动，Activity）：每条边对应一个具体活动，边的权重表示该活动的持续时间（如天数、小时）。若存在边 <Vi​,Vj​>，则表示 “活动需在事件 Vi​ 发生后开始，在事件 Vj​ 发生时结束”，即活动的开始依赖于 Vi​ 对应的前置活动完成。

（3）无环性（Acyclic）：与 AOV 网一样，AOE 网必须是无环图。若存在环，则活动间存在 “循环依赖 + 时间累积”，导致项目无法结束（总时间无限），因此环是 AOE 网的 “非法结构”。

2、AOE 网的关键概念（时间参数）

为分析项目的时间特性，AOE 网定义了 4 个核心时间参数（以顶点 Vi​ 和边 <Vi​,Vj​> 为例）：

（1）事件的最早发生时间（ve(i)）

① 定义：顶点 Vi​ 所代表的事件最早可能发生的时间（即所有到达 Vi​ 的活动都完成的最早时间）。

② 计算规则：

a. 源点的最早发生时间 源点（项目从时间 0 开始）。

b. 对于其他顶点 Vi​，ve(i)=max{ve(j)+weight(<Vj​,Vi​>)}（取所有前置活动完成时间的最大值，因需等最后一个前置活动完成）。

（2）事件的最迟发生时间（vl(i)）

① 定义：顶点 Vi​ 所代表的事件最迟必须发生的时间（若超过此时间，会延误整个项目的完成时间）。

② 计算规则：

a. 汇点的最迟发生时间 汇点汇点（汇点的最早和最迟时间一致，即项目的最短完成时间）。

b. 对于其他顶点 Vi​，vl(i)=min{vl(j)−weight(<Vi​,Vj​>)}（取所有后续活动最迟开始时间的最小值，确保不延误后续活动）。

（3）活动的最早开始时间（e(k)）

① 定义：边 <Vi​,Vj​> 代表的活动 k最早可能开始的时间（即其起点事件 Vi​ 的最早发生时间）。

② 计算规则：e(k)=ve(i)。

（4）活动的最迟开始时间（l(k)）

① 定义：边 <Vi​,Vj​> 代表的活动 k最迟必须开始的时间（若超过此时间，会延误后续事件的发生）。

② 计算规则：l(k)=vl(j)−weight(<Vi​,Vj​>)（即终点事件 Vj​ 的最迟发生时间减去活动的持续时间）。

③ 关键推导：活动的时间余量（l(k)−e(k)）

• 若 l(k)−e(k)=0：活动 k 无时间余量，必须按时开始和完成，否则会延误整个项目 —— 这类活动属于 “关键活动”。
• 若 l(k)−e(k)>0：活动 k 有缓冲时间，可在 [e(k),l(k)] 区间内开始，不影响项目总时间。

3、AOE 网的核心应用：关键路径（Critical Path）

关键路径是 AOE 网中从源点到汇点的最长路径，具有以下特性：

• 路径上的所有活动都是 “关键活动”（l(k)−e(k)=0）。
• 关键路径的总长度（所有活动的权重之和）等于项目的最短完成时间（汇点的 ve 或 vl 值）。
• 若关键路径上的任何活动延误，整个项目的完成时间会相应延误；非关键路径上的活动延误只要不超过其时间余量，不影响总时间。

4、示例说明（项目开发 AOE 网）

以 “软件项目开发” 为例，AOE 网结构如下：

• 顶点（事件）：V0​（项目开始）、V1​（需求分析完成）、V2​（设计完成）、V3​（开发完成）、V4​（测试完成）、V5​（项目结束）。
• 边（活动及持续时间）：<V0​,V1​>：需求分析（5 天）、<V1​,V2​>：设计（3 天）、<V2​,V3​>：编码（8 天）、<V3​,V4​>：单元测试（2 天）、<V4​,V5​>：系统测试（4 天）、<V2​,V4​>：并行测试准备（3 天）。

对应的 AOE 网结构及时间参数计算：

1. 计算最早发生时间 ve：

   • ve(0)=0
   • ve(1)=ve(0)+5=5
   • ve(2)=ve(1)+3=8
   • ve(3)=ve(2)+8=16
   • ve(4)=max{ve(3)+2,ve(2)+3}=max{18,11}=18
   • ve(5)=ve(4)+4=22（项目最短完成时间为 22 天）。

2. 计算最迟发生时间 vl：

   • vl(5)=ve(5)=22
   • vl(4)=vl(5)−4=18
   • vl(3)=vl(4)−2=16
   • vl(2)=min{vl(3)−8,vl(4)−3}=min{8,15}=8
   • vl(1)=vl(2)−3=5
   • vl(0)=vl(1)−5=0。

3. 关键活动与关键路径：

   • 所有活动的 e(k)=l(k)（如 <V0​,V1​>：e=0,l=0；<V1​,V2​>：e=5,l=5 等）。
   • 关键路径：V0​→V1​→V2​→V3​→V4​→V5​，总长度 22 天。

5、AOE 网与 AOV 网的对比

对比维度	AOE 网（Activity On Edge）	AOV 网（Activity On Vertex）
活动的载体	边（Edge），权重表示活动持续时间	顶点（Vertex）
顶点的含义	事件（活动的开始 / 结束节点）	活动本身
边的含义	活动及持续时间，体现依赖关系	仅体现活动的先后依赖关系
核心应用	计算项目最短完成时间、关键路径	确定活动的执行顺序（拓扑排序）
时间信息	包含（边的权重）	不包含