线性代数 - 线性方程组的原始解法（高斯消元法）

线性代数 - 线性方程组的原始解法（高斯消元法）

flyfish

线性方程组

$$\text{方程组：}\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3=1(1)\\ 4x_1+3x_2+3x_3=2(2)\\ 8x_1+7x_2+9x_3=6(3)\end{array}\text{即}\mathbf{Ax}=\mathbf{b},\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 3& 3\\ 8& 7& 9\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]$$

高斯消元法

逐步消去未知数的系数

增广矩阵

增广矩阵是把线性方程组的系数矩阵和常数项向量“拼在一起”形成的新矩阵，目的是让“系数”和“常数”同步进行行变换，避免分开操作出错。

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2+x_3=1(\text{常数项1})\\ 4x_1+3x_2+3x_3=2(\text{常数项2})\\ 8x_1+7x_2+9x_3=6(\text{常数项6})\end{array}$$
系数矩阵$\mathbf{A}$（只放未知数的系数）：$$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 3& 3\\ 8& 7& 9\end{array}\right]$$

常数项向量$\mathbf{b}$（只放等号右边的数）：$$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]$$

把两者用竖线隔开，拼在一起就是增广矩阵：
$$[\mathbf{A}|\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 4& 3& 3& 2\\ 8& 7& 9& 6\end{array}\right]$$
竖线左边是“未知数的系数”，右边是“等号后的常数”，这样后续做行变换时，系数和常数能同步变化，保证方程组的等价性（比如“给第1行乘2”，系数和常数会一起乘2，方程依然成立）

原始解法：高斯消元法（直接求解）

通过行变换将增广矩阵$[\mathbf{A}|\mathbf{b}]$转化为上三角矩阵，再回代求解。

一、：构造增广矩阵并消元（转化为上三角）

增广矩阵：
$$[\mathbf{A}|\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 4& 3& 3& 2\\ 8& 7& 9& 6\end{array}\right]$$
消去第2、3行的$x_1$：
行2 = 行2 - 2×行1 → $$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 8& 7& 9& 6\end{array}\right]$$
行3 = 行3 - 4×行1 → $$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 3& 5& 2\end{array}\right]$$
消去第3行的$x_2$：
行3 = 行3 - 3×行2 → $$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right]$$（上三角增广矩阵）

二、回代求解

由第3行：$$2x_3=2⟹x_3=1$$
代入第2行：$$x_2+1=0⟹x_2=-1$$
代入第1行：$$2x_1-1+1=1⟹x_1=0.5$$