线性代数 - 矩阵求逆

线性代数 - 矩阵求逆

flyfish

逆矩阵

逆矩阵就是可逆方阵的“倒数”，对于方阵$\mathbf{A}$，如果存在一个方阵${\mathbf{A}}^{-1}$，满足$\mathbf{A}\times {\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\times \mathbf{A}=\mathbf{I}$，那${\mathbf{A}}^{-1}$就是$\mathbf{A}$的逆矩阵。
$\mathbf{I}$是单位矩阵，相当于数字里的“1”，单位矩阵是一种特殊的方阵，：主对角线（从左上到右下）上的元素全是1，其余位置的元素全是0。

比如3阶单位矩阵$${\mathbf{I}}_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
它的作用类似数字“1”——任何矩阵和它相乘，结果都等于原矩阵（前提是乘法规则允许）
矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 3& 3\\ 8& 7& 9\end{array}\right]$（行列式=4≠0，可逆），它的逆矩阵${\mathbf{A}}^{-1}$就满足$\mathbf{A}\times {\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

1. 前提：只有可逆方阵才有逆矩阵，非方阵或行列式=0的方阵（奇异矩阵）都没有逆矩阵。
2. 作用：“还原”，比如用$\mathbf{A}$把向量$\mathbf{x}$变成$\mathbf{y}$（$\mathbf{y}=\mathbf{Ax}$），用${\mathbf{A}}^{-1}$乘$\mathbf{y}$就能变回$\mathbf{x}$（$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{y}$），这在解线性方程组时特别常用。
3. 唯一性：一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，不会有多个不同的逆矩阵。

也可以这么说
设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵（行数=列数=$n$），若存在 $n$ 阶方阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$，满足：
$$\mathbf{A}\times {\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\times \mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$$
其中 ${\mathbf{I}}_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，形式为：
$${\mathbf{I}}_n={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$$
则 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 称为 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵。

计算过程

计算矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 3& 3\\ 8& 7& 9\end{array}\right]$的逆矩阵

构造增广矩阵$[\mathbf{A}\mid {\mathbf{I}}_3]$，通过初等行变换把左边的$\mathbf{A}$变成单位矩阵${\mathbf{I}}_3$，此时右边的${\mathbf{I}}_3$就变成了${\mathbf{A}}^{-1}$。

第一步：构造初始增广矩阵

把$\mathbf{A}$和3阶单位矩阵${\mathbf{I}}_3$拼接，得到：
$$[\mathbf{A}\mid {\mathbf{I}}_3]=\left[\begin{array}{ccccccc}2& 1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 4& 3& 3& ⋮& 0& 1& 0\\ 8& 7& 9& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

第二步：消去第1列下方的非零元素（目标：第1列只有第1行非零）

行变换操作：$r_2=r_2-2r_1$（第2行减去第1行的2倍）、$r_3=r_3-4r_1$（第3行减去第1行的4倍）

计算过程：

• $r_2$新值：$[4-2\times 2,3-2\times 1,3-2\times 1,0-2\times 1,1-2\times 0,0-2\times 0]=[0,1,1,-2,1,0]$
• $r_3$新值：$[8-4\times 2,7-4\times 1,9-4\times 1,0-4\times 1,0-4\times 0,1-4\times 0]=[0,3,5,-4,0,1]$

变换后矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}2& 1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& ⋮& -2& 1& 0\\ 0& 3& 5& ⋮& -4& 0& 1\end{array}\right]$$

第三步：消去第2列下方的非零元素（目标：第2列只有第2行非零）

行变换操作：$r_3=r_3-3r_2$（第3行减去第2行的3倍）

计算过程：

• $r_3$新值：$[0-3\times 0,3-3\times 1,5-3\times 1,-4-3\times (-2),0-3\times 1,1-3\times 0]=[0,0,2,2,-3,1]$

变换后矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}2& 1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& ⋮& -2& 1& 0\\ 0& 0& 2& ⋮& 2& -3& 1\end{array}\right]$$

第四步：将主对角线元素化为1（目标：第1、2、3行主对角线元素都是1）

行变换操作：$r_1=r_1÷2$（第1行除以2）、$r_3=r_3÷2$（第3行除以2）

计算过程：

• $r_1$新值：$[2÷2,1÷2,1÷2,1÷2,0÷2,0÷2]=[1,0.5,0.5,0.5,0,0]$
• $r_3$新值：$[0÷2,0÷2,2÷2,2÷2,-3÷2,1÷2]=[0,0,1,1,-1.5,0.5]$

变换后矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0.5& 0.5& ⋮& 0.5& 0& 0\\ 0& 1& 1& ⋮& -2& 1& 0\\ 0& 0& 1& ⋮& 1& -1.5& 0.5\end{array}\right]$$

第五步：消去主对角线上方的非零元素（目标：上三角区域全为0）

第一步：消去第3列上方非零元素（第1、2行的第3列）

行变换操作：$r_1=r_1-0.5r_3$（第1行减去第3行的0.5倍）、$r_2=r_2-r_3$（第2行减去第3行的1倍）

计算过程：

• $r_1$新值：$[1-0.5\times 0,0.5-0.5\times 0,0.5-0.5\times 1,0.5-0.5\times 1,0-0.5\times (-1.5),0-0.5\times 0.5]=[1,0.5,0,0,0.75,-0.25]$
• $r_2$新值：$[0-1\times 0,1-1\times 0,1-1\times 1,-2-1\times 1,1-1\times (-1.5),0-1\times 0.5]=[0,1,0,-3,2.5,-0.5]$

变换后矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0.5& 0& ⋮& 0& 0.75& -0.25\\ 0& 1& 0& ⋮& -3& 2.5& -0.5\\ 0& 0& 1& ⋮& 1& -1.5& 0.5\end{array}\right]$$

第二步：消去第2列上方非零元素（第1行的第2列）

行变换操作：$r_1=r_1-0.5r_2$（第1行减去第2行的0.5倍）

计算过程：

• $r_1$新值：$[1-0.5\times 0,0.5-0.5\times 1,0-0.5\times 0,0-0.5\times (-3),0.75-0.5\times 2.5,-0.25-0.5\times (-0.5)]=[1,0,0,1.5,-0.5,0]$

第六步：得到最终结果（左侧化为${\mathbf{I}}_3$，右侧即为${\mathbf{A}}^{-1}$）

最终增广矩阵：
$$[{\mathbf{I}}_3\mid {\mathbf{A}}^{-1}]=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& 1.5& -0.5& 0\\ 0& 1& 0& ⋮& -3& 2.5& -0.5\\ 0& 0& 1& ⋮& 1& -1.5& 0.5\end{array}\right]$$

将小数化为分数（更规范），矩阵$\mathbf{A}$的逆矩阵为：
$${\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ -3& \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

不是方阵就一定不可逆，逆矩阵的定义要求矩阵A和它的逆矩阵${\mathbf{A}}^{-1}$相乘，结果必须是单位矩阵I，而单位矩阵I本身是方阵（行数=列数）。

从乘法规则来看：如果A是m行n列的非方阵（m≠n），不管 ${\mathbf{A}}^{-1}$是什么形状，都没法满足$\mathbf{A}\times {\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\times \mathbf{A}=\mathbf{I}$——因为左边相乘后矩阵的行数、列数，和右边单位矩阵的行数、列数根本对不上，乘法结果不可能是单位矩阵。
非方阵虽然没有“逆矩阵”，但在某些场景下会有“伪逆”，不过这和“可逆矩阵”不是一回事，不能等同看待。