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一、LU分解的数学原理详解

将可逆方阵 $A$ 分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 的乘积（$A=LU$），本质是高斯消元法的矩阵形式。

1.1 核心思想

通过行初等变换（不交换行），将矩阵$A$转化为上三角矩阵$U$，同时记录变换过程构造下三角矩阵 $L$，使得$L$和$U$的乘积等于原矩阵$A$。

1.2 数学步骤

1.2.1 初始化：

• $L$ 初始化为单位下三角矩阵（对角线为1）。
• $U$ 初始化为 $A$ 的副本。

1.2.2 逐列消元：

• 对每一列 $k=1,2,\dots ,n-1$：
  • ​计算乘数：
    $$m_{ik}=\frac{U[i,k]}{U[k,k]}(i=k+1,\dots ,n)$$
  • ​更新 $L$：将$m_{ik}$ 存入 $L[i,k]$。
  • ​更新 $U$：
    $$U[i,k:]=U[i,k:]-m_{ik}\cdot U[k,k:]$$

1.3 存在性与唯一性

• ​条件：当且仅当 $A$ 的所有顺序主子式非零时，存在唯一的LU分解。
• ​唯一性：若 $L$ 是单位下三角矩阵（对角线为1），则分解唯一。

1.4示例（3×3矩阵）

设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 4& 1& 0\\ -2& 2& 1\end{array}\right]$，其分解过程如下：

1.4.1 第一步（$k=1$）

• ​乘数：
  $m_{21}=\frac{4}{2}=2$, $m_{31}=\frac{-2}{2}=-1$
• ​更新后的 $U$：
  $$U=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 3& 2\end{array}\right]$$

1.4.2 第二步（$k=2$）

• ​乘数：
  $m_{32}=\frac{3}{-1}=-3$
• ​更新后的 $U$：
  U = [ 2 1 1 0 − 1