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完全背包-一维数组

news 来源：原创 2025/6/8 13:32:50

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

题目描述

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量

接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述

输出一个整数，表示最大价值。

输入示例

输出示例

提示信息

第一种材料选择五次，可以达到最大值。

数据范围：

1 <= n <= 10000;
1 <= v <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.

思路

与0-1背包的区别是，它的物品数量是无限个，因此是一个完全背包问题，对于这种问题，解决方案只是状态转移方程有变化，变成了dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

python题解（二维数组）

def knapsack(n, v, weight, value):
    dp = [[0]*(v+1) for _ in range(n)] #dp表示可以无限次使用物品0-i的前提下，装满容量为j的背包可以获得的最大价值
    for j in range(weight[0], v+1):
        dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]]+value[0]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, v+1):
            if j < weight[i]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i])
    return dp[n-1][v]
    
n, v = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
    wi, vi = map(int, input().split())
    weight.append(wi)
    value.append(vi)
max_value = knapsack(n, v, weight, value)
print(max_value)

python题解（一维数组）

注意：与0-1背包不同，要正向遍历

def knapsack(n, v, weight, value):
    dp = [0]*(v+1) #dp表示目前装满容量为j的背包可以获得的最大价值
    for i in range(0, n):
        for j in range(weight[i], v+1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
    return dp[v]

n, v = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
    wi, vi = map(int, input().split())
    weight.append(wi)
    value.append(vi)
max_value = knapsack(n, v, weight, value)
print(max_value)