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【LeetCode 每日一题】1414. 和为 K 的最少斐波那契数字数目

news 2025/11/3 8:55:37

Problem: 1414. 和为 K 的最少斐波那契数字数目

文章目录

整体思路
完整代码
时空复杂度
- 时间复杂度：O((log K)^2) 或 O(log K)
- 空间复杂度：O(log K)

整体思路

这段代码的目的是找到表示一个给定整数 k 所需的最少斐波那契数的数量。这里的斐波那契数是指不重复的、标准的斐波那契数列中的数（通常从 F_1=1, F_2=1 开始）。例如，k=7 可以表示为 5+2，所以需要 2 个斐波那
契数。

该算法采用了一种 贪心策略 (Greedy Strategy)，并结合了 递归 (Recursion) 来实现。

核心贪心思想 (基于宰克endorf定理)
- 该算法的正确性基于一个名为 宰克endorf定理 (Zeckendorf’s theorem) 的数学定理。该定理指出，任何正整数都可以唯一地表示为不相邻的斐波那契数的和。
- 这个定理的一个重要推论是，要找到表示 k 的最少数量的斐波那契数，我们可以采用贪心策略：
  1. 首先，找到小于或等于 k 的最大斐波那契数，我们称之为 fib_max。
  2. 将 fib_max 选入我们的和中。
  3. 然后，对剩余的数 k - fib_max 重复这个过程。
- 由于斐波那契数列的性质 (F_n < F_{n+1} < 2 * F_n)，可以证明这种贪心选择总是最优的，并且不会选择到相邻的斐波那契数。
findMinFibonacciNumbers (递归主函数)
- 这个函数实现了上述的贪心策略。
- 基准情形 (Base Case): if (k == 0) { return 0; }。当 k 减为 0 时，说明我们已经用斐波那契数完全表示了原始的 k，此时不再需要任何斐波那契数，返回 0。
- 递归步骤:
  - maxFibonacci(k): 调用一个辅助函数，找到小于或等于当前 k 的最大斐波那契数。
  - k - maxFibonacci(k): 从 k 中减去这个最大的斐波那契数，得到剩余需要表示的数。
  - findMinFibonacciNumbers(...): 对这个剩余的数进行递归调用，求解表示它所需的最少斐波那契数数量。
  - ... + 1: 将递归调用的结果加 1。这个 +1 代表我们当前选择的那个 maxFibonacci(k)。
maxFibonacci (辅助函数)
- 这个函数的功能是找到小于或等于 n 的最大斐波那契数。
- 它通过一个 while 循环，从 a=1, b=1 开始，迭代地生成斐波那契数列 (a, b, a+b, …)。
- 循环的条件是 while (b <= n)。
- 当循环结束时，b 刚刚超过了 n，而 a 正好是最后一个小于或等于 n 的斐波那契数。因此，返回 a。

完整代码

class Solution {/*** 计算表示整数 k 所需的最少斐波那契数的数量。* @param k 目标正整数* @return 最少的斐波那契数数量*/public int findMinFibonacciNumbers(int k) {// 基准情形：如果 k 已经是 0，则不需要任何斐波那契数。if (k == 0) {return 0;}// 贪心选择：// 1. 找到小于或等于 k 的最大斐波那契数。int maxFib = maxFibonacci(k);// 2. 对剩余部分 k - maxFib 进行递归求解，//    并将当前选择的这个斐波那契数 (计为1) 加入结果。return findMinFibonacciNumbers(k - maxFib) + 1;}/*** 辅助函数：找到小于或等于 n 的最大斐波那契数。* @param n 上限值* @return 小于或等于 n 的最大斐波那契数*/public int maxFibonacci(int n) {// 初始化斐波那契数列的前两项 (F_1=1, F_2=1)int a = 1;int b = 1;// 循环生成斐波那契数，直到 b 超过 nwhile (b <= n) {int temp = a + b; // 计算下一项a = b;            // 更新 ab = temp;         // 更新 b}// 当循环结束时，b 是第一个大于 n 的斐波那契数，// a 则是最后一个小于或等于 n 的斐波那契数。return a;}
}

时空复杂度

设 K 是输入值。

时间复杂度：O((log K)^2) 或 O(log K)

maxFibonacci(n) 的复杂度：
- 斐波那契数列是指数级增长的。第 m 个斐波那契数 F_m 大约是 φ^m / sqrt(5)，其中 φ 是黄金比例 (约1.618)。
- 因此，要生成一个值达到 n 的斐波那契数，需要的迭代次数与 log(n) 成正比。
- 所以，maxFibonacci(n) 的时间复杂度是 O(log n)。
findMinFibonacciNumbers(k) 的复杂度分析：
- 该函数是递归的。我们需要分析递归的深度和每次递归调用的开销。
- 递归深度：每次递归，k 的值都会减去一个 maxFibonacci(k)。由于斐波那契数列的性质，k - maxFibonacci(k) < k / 2 并不总是成立，但可以证明 k - maxFibonacci(k) 会显著减小。递归的深度也大致是 O(log K) 级别。
- 每次递归的开销：在每次 findMinFibonacciNumbers 调用中，都会调用一次 maxFibonacci。
- 简单分析 (上界)：递归深度 O(log K)，每次开销 O(log K)，总时间复杂度为 O(log K * log K) = O((log K)^2)。
- 更精确的分析：可以预先生成所有小于等于 K 的斐波那契数并存储起来。这样，每次贪心选择就变成了在列表中进行二分查找 (O(log(log K)))，或者直接线性查找。如果预先生成斐波那契数（耗时 O(log K)），然后进行贪心选择，总时间可以优化到 O(log K)。对于当前代码，O((log K)^2) 是一个更贴切的描述。