信息学奥赛一本通 ybt 1940：【07NOIP普及组】守望者的逃离 | 洛谷 P1095 [NOIP 2007 普及组] 守望者的逃离

【题目链接】

ybt 1940：【07NOIP普及组】守望者的逃离
洛谷 P1095 [NOIP 2007 普及组] 守望者的逃离

【题目难度】：B

【题目考点】

1. 动态规划

2. 贪心

【解题思路】

非正解解法：搜索

每步尝试进行等待、闪烁、跑步三种行动，搜索所有可能的行动方案。
如果存在移动距离大于等于s的情况，则记录该情况使用的时间。
同时维护使用时间为t时移动的最大距离。最后输出结果。
该方法可以得30分。

正解解法：动态规划

现在考虑以下两种走法：

1. 等待恢复魔法，有足够魔法就使用闪烁
2. 一直跑步

首先假设时间无限长，使用哪种走法更合适。
每秒恢复魔法4点，每次闪烁消耗魔法10点，如果仅靠恢复的魔法进行闪烁，且有魔法就是闪烁，那么守望者的行动顺序为：

时刻（第几秒）	操作	操作后剩余魔法	移动动距离
1	休息	4	0
2	休息	8	0
3	休息	12	0
4	闪烁	2	60
5	休息	6	60
6	休息	10	60
7	闪烁	0	120

根据上表可知，守望者完全靠休息恢复魔法和闪烁技能，每7秒钟可以前进120米。
而如果每秒都跑步，7秒可以前进$7\ast 17=119$米，比休息+闪烁的前进方案前进距离更短。
因此，如果时间足够长，需要走的距离足够远，应该尽量使用休息+闪烁的方案前进。
而如果已经接近终点，比如此时距离终点20米，但魔法值为0。如果想使用闪烁，需要休息3秒后再闪烁，需要4秒才能到达终点。而如果跑步，2秒后就可以到达终点。因此当距离较短时，应该跑步前进。
基于上述理解，可以预处理出数组$f$，$f_i$表示前$i$秒只进行休息+闪烁可以前进的最大距离。
设变量$m$表示守望者的剩余魔法值。在第$i$秒时：

• 如果$m\ge 10$，那么可以使用闪烁，就使用。第$i$秒移动的距离比第$i-1$秒增加60，即$f_i=f_{i-1}+60$，同时剩余魔法值$m$减少10。
• 如果$m<10$，那么只能休息，第i秒移动的距离与第$i-1$秒移动距离相同，即$f_i=f_{i-1}$，同时剩余魔法值$m$增加10。

设动规状态定义$dp$，$d{p}_i$表示前$i$秒进行的所有行动方案中，前进距离最大的方案的前进距离。即前i秒可以前进的最大距离。
初值$d{p}_0=0$。
分析状态转移方程：根据第i秒是否跑步分割策略集合。

• 情况1：在前$i-1$秒前进距离最大的方案基础上，在第$i$秒跑步前进，这样做前$i$秒可以行进的距离为$d{p}_{i-1}+17$
• 情况2：由于跑步前进可能不如休息+闪烁移动的距离更大，因此前$i$秒也可以选择只进行休息+闪烁的行动方案，前$i$秒的行进距离为$f_i$
• 两种情况取最大值。

因此：dpi=max⁡{dpi−1+17,fi}dp_i = \max\{dp_{i-1}+17, f_i\}dpi​=max{dpi−1​+17,fi​}
递推求出$dp$数组的同时，看前$i$秒守望者移动的最大距离$d{p}_i$是否大于等于总距离$s$。如果$d{p}_i\ge s$，那么守望者只需要$i$秒时间就可以逃出洞窟，输出Yes和$i$，程序结束。
递推结束后，如果程序没有结束，那么守望者在$t$秒时间内无法逃出。$t$秒时间守望者可以前进的最大距离为$d{p}_t$，输出No和$d{p}_t$。

递推变迭代

由于在递推求$f$和$dp$的递推式中，只存在第$i-1$项的值$f_{i-1}$和$d{p}_{i-1}$，因此可以降维，变递推为迭代。
比如将f[i] = f[i-1]+60变为f = f+60。等号右边的f表示f[i-1]，等号左边的f表示f[i]。
这样依然可以正确求出结果，并且可以优化代码的空间复杂度。但变量的意义、整个算法的概念没有变。

【题解代码】

非正解解法1：搜索 30pt

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m, s, t, ansTime = 1e9, ansDis;
bool hasAns;
void dfs(int time, int ma, int dis)//走了time秒时间，剩余魔法ma，已走距离dis 
{if(dis >= s){hasAns = true;ansTime = min(time, ansTime);return; }if(time == t){ansDis = max(ansDis, dis);return;}dfs(time+1, ma+4, dis);//休息if(ma >= 10)dfs(time+1, ma-10, dis+60);//闪烁dfs(time+1, ma, dis+17);//跑步 
}
int main()
{cin >> m >> s >> t;dfs(0, m, 0);if(hasAns)cout << "Yes\n" << ansTime;elsecout << "No\n" << ansDis;return 0;
}

正解解法：动态规划

• 写法1：基本写法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 300005
int f[N];//f[i]：前i秒只使用闪烁能走到的最大的距离 
int dp[N];//dp[i]：前i秒能走到的最大的距离
int main()
{int m, s, t;cin >> m >> s >> t;for(int i = 1; i <= t; ++i){if(m >= 10) {f[i] = f[i-1]+60;m -= 10;}else{f[i] = f[i-1];m += 4;}}for(int i = 1; i <= t; ++i){dp[i] = max(f[i], dp[i-1]+17);if(dp[i] >= s){cout << "Yes" << '\n' << i;return 0;}}cout << "No\n" << dp[t];return 0;
}

• 写法2：递推变迭代

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int m, s, t, f, dp;//f：前i秒只使用闪烁能走到的最大的距离  dp：前i秒能走到的最大的距离;cin >> m >> s >> t;for(int i = 1; i <= t; ++i){if(m >= 10){f = f+60;m -= 10;}elsem += 4;dp = max(f, dp+17);if(dp >= s){cout << "Yes" << '\n' << i;return 0;}}cout << "No\n" << dp;return 0;
}