PTA 7-8 哈利·波特的考试
题目描述
哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是 haha，将老鼠变成鱼的魔咒是 hehe 等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如 ahah 可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒 lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。
现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念 4 个字符；而如果带猫去，则至少需要念 6 个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。
输入格式:
输入说明：输入第 1 行给出两个正整数 n (≤100)和 m，其中 n 是考试涉及的动物总数，m 是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按 1~$$n编号。随后m行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(\le 100$$)，数字之间用空格分隔。
输出格式:
输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出 0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。
输入样例:
6 11
3 4 70
1 2 1
5 4 50
2 6 50
5 6 60
1 3 70
4 6 60
3 6 80
5 1 100
2 4 60
5 2 80
输出样例:
4 70题目分析
方法思路
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问题分析：
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将每个动物视为图的节点，魔咒视为无向边，边的权重为魔咒长度。
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需要找到每个节点到其他所有节点的最短路径中的最大值，并选择这些最大值中最小的那个对应的节点。
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算法选择：
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使用 Floyd-Warshall 算法计算所有节点之间的最短路径，因为它适用于处理稠密图，且能高效计算多源最短路径。
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步骤分解：
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构建邻接矩阵并初始化。
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使用 Floyd-Warshall 算法计算所有节点之间的最短路径。
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检查每个节点是否可达所有其他节点，并计算每个节点的最长最短路径。
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选择具有最小最长路径的节点，若有多个则选编号最小的。
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示例代码
def main():
import sys
input = sys.stdin.read().split()
idx = 0
n = int(input[idx])
idx += 1
m = int(input[idx])
idx += 1
INF = float('inf')
d = [[INF] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
d[i][i] = 0
for _ in range(m):
u = int(input[idx]) - 1
idx += 1
v = int(input[idx]) - 1
idx += 1
w = int(input[idx])
idx += 1
if d[u][v] > w:
d[u][v] = w
if d[v][u] > w:
d[v][u] = w
# Floyd-Warshall算法
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
if d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]:
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]
candidates = []
for i in range(n):
max_dist = 0
valid = True
for j in range(n):
if d[j][i] == INF:
valid = False
break
if d[j][i] > max_dist:
max_dist = d[j][i]
if valid:
candidates.append((i + 1, max_dist)) # 动物编号是i+1
if not candidates:
print(0)
else:
# 按照max_dist升序，动物编号升序排列
candidates.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))
print(candidates[0][0], candidates[0][1])
if __name__ == "__main__":
main()代码解释
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输入处理：
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读取输入的动物数
n和魔咒数m。 -
初始化邻接矩阵
d，其中d[i][j]表示动物i+1到动物j+1的最短路径长度。
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邻接矩阵构建：
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处理每条魔咒输入，更新邻接矩阵中的对应边权重，确保取最小值。
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Floyd-Warshall 算法：
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动态规划计算所有节点之间的最短路径。
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候选节点筛选：
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检查每个节点是否可达所有其他节点。
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计算每个节点的最长最短路径，并筛选出符合要求的候选节点。
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结果输出：
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根据最长路径长度和动物编号排序候选节点，输出最优解。
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自我实现代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxInt 2147483647
typedef struct {
int arcs[102][102];
int vexnum, arcnum;
} MGraph;
int final[102];//final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径
int D[102]; //记录v0到vi的当前最短路径长度
int P[102]; //记录v0到vi的当前最短路径vi的前驱
int i, u, j, m, v, min, w, k, a, b, c, min1 = 999999, max = -991111, p = 0;
void Dijkstra(MGraph G, int v0) {
for (v = 0; v < G.vexnum; v++) //初始化数据
{
final[v] = 0; //全部顶点初始化为未知最短路径状态
D[v] = G.arcs[v0][v];// 将与v0点有连线的顶点加上权值
P[v] = -1; //初始化路径数组P为-1
}
D[v0] = 0; //v0至v0路径为0
final[v0] = 1; // v0至v0不需要求路径
// 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径
for (v = 1; v < G.vexnum; v++) {
min = maxInt; // 当前所知离v0顶点的最近距离
for (w = 0; w < G.vexnum; w++) // 寻找离v0最近的顶点
{
if (!final[w] && D[w] < min) {
k = w;
min = D[w]; // w顶点离v0顶点更近
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置为1
for (w = 0; w < G.vexnum; w++) // 修正当前最短路径及距离
{
// 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
if (!final[w] && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) { // 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]
D[w] = min + G.arcs[k][w]; // 修改当前路径长度
P[w] = k;
}
}
}
}
int main() {
MGraph G;
memset(final, 0, sizeof(final));
memset(D, 0x3f3f3f3f, sizeof(D));
memset(G.arcs, 0x3f3f3f3f, sizeof(G.arcs)); //邻接矩阵一定要初始化
scanf("%d %d", &G.vexnum, &m);
for (i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
G.arcs[a - 1][b - 1] = c;
G.arcs[b - 1][a - 1] = c;
}
for (u = 0; u < G.vexnum; u++) {
max = -9999999;
Dijkstra(G, u);
for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
if (D[j] > max)
max = D[j];
}
if (max < min1) {
min1 = max;
p = u + 1;
}
}
if (p == 0)
printf("0");
else
printf("%d %d\n", p, min1);
return 0;
}